Disuguaglianza triangolare

[HowardRoark]

Non ho mai capito perché $|x+y| <= |x|+|y|$ venga chiamata "disuguaglianza triangolare". Algebricamente questa cosa l'avevo vista un po' di tempo fa e dimostrarla è abbastanza facile, però cosa c'entrano i triangoli?
Io so che in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due, ma le lunghezze dei lati di un triangolo per definizione sono sempre numeri non negativi e quindi se parliamo di triangoli si avrebbe $|x+y|=|x|+|y|, x,y>=0$.

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

Prova a dare un'occhiata ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_triangolare

[Quinzio]

Perche' se $x$ e $y$ sono dei vettori, con la coda del vettore $x$ nell'origine e il vettore $y$ che ha la coda sulla punta di $x$, succede che si forma un triangolo con vertici: origine - punta di $x$ - punta di $y$.
Per quel triangolo vale la disuguaglianza $|x+y| \le |x| + |y|$.

[HowardRoark]

Prova a dare un'occhiata ad esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_triangolare

Grazie mille!

[HowardRoark]

Perche' se $x$ e $y$ sono dei vettori, con la coda del vettore $x$ nell'origine e il vettore $y$ che ha la coda sulla punta di $x$, succede che si forma un triangolo con vertici: origine - punta di $x$ - punta di $y$.
Per quel triangolo vale la disuguaglianza $|x+y| \le |x| + |y|$.

Secondo il tuo ragionamento, sia $x$ un vettore, $x=(x_1,x_2)$, $y=(y_1,y_2)$. Il vettore che parte dall'origine e arriva alla punta di $y$ ha componenti $(x_1+y_1, x_2+y_2)$. Il terzo lato del triangolo ha modulo $sqrt((x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2)$. $x$ ha modulo $sqrt(x_1^2+x_2^2)$ e $y$ ha modulo $sqrt(y_1^2+y_2^2)$. Quindi deve essere:

$sqrt((x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2) <= sqrt(x_1^2+x_2^2) + sqrt(y_1^2+y_2^2)$.

[pilloeffe]

Quindi deve essere:

$ \sqrt((x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2) \le \sqrt(x_1^2+x_2^2) + \sqrt(y_1^2+y_2^2) $

Casomai $x=(x_1, y_1)$, $y=(x_2, y_2)$, quindi

$ \sqrt((x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2) \le \sqrt(x_1^2+y_1^2) + \sqrt(x_2^2+y_2^2) $

Infatti trattandosi di quantità tutte positive possiamo elevare al quadrato:

$x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 + y_1^2 + y_2^2 + 2y_1y_2 \le x_1^2+x_2^2 + y_1^2+y_2^2 + 2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} $

$x_1x_2 + y_1y_2 \le \sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} $

Elevando ancora al quadrato:

$x_1^2x_2^2 + 2x_1x_2y_1y_2 + y_1^2y_2^2 \le x_1^2x_2^2 + x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 + y_1^2y_2^2 $

$ 2x_1x_2y_1y_2 \le x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2 $

$(x_1y_2 - x_2y_1)^2 \ge 0 $

cosa che è sicuramente vera.

[HowardRoark]

Grazie per averlo continuato, ieri sera ero un po' stanco e oltretutto dovevo ancora studiare.