HowardRoark ha scritto:Quindi questo passaggio: $e^(x+y)(1-k)> -1 => e^(x+y) > 1/(k-1)$ è sbagliato?
Sì, l'implicazione è falsa perché non tiene conto del segno di $1-k$.
HowardRoark ha scritto:ma allora se si cercavano le soluzioni per k>1 il verso della disequazione sarebbe dovuto cambiare (perché ovviamente (1−k) sarebbe stato negativo).
Sì. È facile fare errori quando ci sono dei parametri; lo svolgimento corretto è il seguente. Ripetendo i passaggi del libro (almeno fino a quando sono corretti), si ottiene:
\[ \left[\frac{e^{x+y}+1}{e^{x+y}}>k \right] \iff \left[(1-k)e^{x+y}>-1\right] \]
Ora, bisogna distinguere i casi a seconda del segno di $1-k$. Se $1-k \ge 0$, ossia se $k \le 1$, la disequazione è vera per ogni $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ perché il membro di sinistra è non negativo e quindi è certamente strettamente maggiore di $-1$. Altrimenti, risulta:
\[ \left[\left((1-k)e^{x+y}>-1\right) \wedge (k>1) \right] \iff \left[\left(e^{x+y}<\frac{1}{k-1}\right) \wedge (k>1)\right] \]
Da $k>1$ segue \(1/(k-1)>0\), quindi la disequazione con l'esponenziale è equivalente a quella ottenuta applicando il logaritmo naturale ambo i membri:
\[ \left[\left(e^{x+y}<\frac{1}{k-1}\right) \wedge (k>1)\right] \iff \left[\left(x+y < \log\frac{1}{k-1}\right) \wedge (k>1)\right] \]
\[ \iff \left[\left(y<-x-\log(k-1)\right) \wedge (k>1)\right] \]
Spero di non aver fatto errori, vista la tarda ora. Se qualcosa non ti torna, dimmelo che lo rivediamo insieme.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.