Curve di livello

[HowardRoark]

Devo trovare le curve di livello di $f(x,y) = ln(x^2-y+2)^2$
Dominio di $f$: $D_f: y!= x^2+2$

Passo alla risoluzione:
$ln(x^2-y+2)^2 = k <=> (x^2-y+2)^2 = e^k <=> x^4-2x^2y+4x^2+y^2-2y+4-e^k=0$. Sviluppare il quadrato non mi permette di riconoscere che tipo di conica ottengo, quindi provo ad estrarre la radice: $x^2-y+2 = sqrt(e^k) =>y= x^2+2-sqrt(e^k)$. Quindi le curve di livello sarebbero delle parabole. E' corretto lo svolgimento? Ci ho pensato ora ad estrarre la radice

[Mephlip]

Non è corretto perché:
\[ \left[(x^2-y+2)^2=e^k\right] \iff \left[|x^2-y+2|=\sqrt{e^k}\right] \]
Un altro possibile approccio, senza passare (almeno direttamente) per la radice, è considerare l'equazione con \(x\) al quarto grado come un'equazione di secondo grado rispetto a \(y\) e procedere con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado trattando \(x\) come parametro.

[HowardRoark]

Non è corretto perché:
\[ \left[(x^2-y+2)^2=e^k\right] \iff \left[|x^2-y+2|=\sqrt{e^k}\right] \]

Hai ragione, non so perché ma mi ero convinto che $x^2-y+2$ fosse sempre non negativo. Allora potrei passare alla radice dopo aver posto $x^2-y+2>0=>y<x^2+2$.

Un altro possibile approccio, senza passare (almeno direttamente) per la radice, è considerare l'equazione con \(x\) al quarto grado come un'equazione di secondo grado rispetto a \(y\) e procedere con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado trattando \(x\) come parametro.

Provo questo approccio allora.

[HowardRoark]

Scrivo per completezza le soluzioni che ho trovato. Sicuramente le curve di livello di questa funzione sono parabole, però la loro espressione cambia leggermente a seconda che sia $y<x^2+2$ o $y>x^2+2$ e questo mi sembra interessante:

$ \{(y=x^2+2-sqrt(e^k)), (y<x^2+2) :}$ $vv$ $\{(y=x^2+2+sqrt(e^k)), (y>x^2+2) :}$

Se $y<x^2+2$ la parabola è traslata verso l'alto o verso il basso, a seconda di $k$, di $2-sqrt(e^k)$; se $y>x^2+2$ si ottengono parabole traslate verso l'alto di $2+sqrt(e^k)$.