Dubbio su limite di successione

[ciaomammalolmao]

Ciao a tutti non riesco a capire bene il significato della definizione con delta-epsilon di successione convergente, ma anche divergente. Per esempio in questa proposizione:
Data $a_n$ convergente ad $l$ e $b_n$ divergente a $+infty$ allora $a_n+b_n$ diverge a $+infty$
La logica della dimostrazione l’ho capita ma mi tornano poco alcune cose,
Per $a_n$ ho che $AA\epsilon>0EEn_epsilon$ t.c. $|a_n-l|<epsilon$ se $n>n_epsilon$
Mentre per $b_n$ ho che $AAM>0EEn_M$ t.c. $a_n>M$ se $n>n_M$ voglio dimostrare che
$AAM’EEn_M’$ t.c. $a_n+b_n>M’$ se $n>n_M’$
Io so che per $n>n_epsilon$ si verifica che $a_n>l-epsilon$ e che per $n>n_M$ si verifica $b_n>M$
Quindi per $n_M’=max{n_epsilon;n_M}$ valgono entrambe le condizioni, cioè $a_n+b_n>l-epsilon+M$
Adesso posso scegliere M’=l-epsilon+M e dimostro $AAM’>0EEn_M$ t.c. $a_n+b_n>M’$ se $n>n_M’$. La dimostrazione è corretta vero? Nel caso lo fosse sapreste spiegarmi come faccio io a dire nella tesi che la condizione è soddisfatta per ogni $M’>0$ quando io ho posto che $M’=l-epsilon+M$? $M’$ non dovrebbe essere arbitrario? In questo caso non è neanche sempre positivo no? Oppure posso risolvere dicendo che epsilon è molto piccolo rispetto ad M? Più in generale, cosa significa che $epsilon, M$ devono essere arbitrari? Spero possiate chiarire questi dubbi. Grazie

[Mephlip]

Nel caso lo fosse sapreste spiegarmi come faccio io a dire nella tesi che la condizione è soddisfatta per ogni $M’>0$ quando io ho posto che $M’=l-epsilon+M$? $M’$ non dovrebbe essere arbitrario? In questo caso non è neanche sempre positivo no?

Il dubbio che ti poni è lecito, ma un modo per risolvere questo problema è dimostrare che la definizione di limite di successione divergente con "per ogni $M'>0$ e la definizione di limite di successione divergente con "per ogni $M'\in\mathbb{R}$" sono equivalenti. Provaci! È un ottimo esercizio per prendere dimestichezza con queste definizioni. Inoltre, non scegli $M'$ tale che valga quell'uguaglianza da te riportata: bensì, usi l'arbitrarietà di $\varepsilon$ e di $M$ in modo tale che, prefissato un qualunque $M'>0$, valga quell'uguaglianza (magari intendevi questo, ma è un po' ambiguo da come è scritto). Però, giustamente, con queste definizioni di limite deve essere $M'>0$ e quindi ti sei giustamente posto dubbi sul segno di $M'$.

Alternativamente, in maniera più elementare, puoi sfruttare le proprietà dei valori assoluti: sia $M'>0$ arbitrario. Dato che per ogni $t\in\mathbb{R}$ risulta $|t| \ge t$, è $|l|-l+2\ge 2>0$ e quindi, scegliendo \(\varepsilon=1\) ed \(M=M'+|l|-l+2\), risulta:
\[ a_n+b_n>l-\varepsilon+M=l-1+M'+|l|-l+2=M'+|l|+1 \ge M'+1>M' \]

Oppure posso risolvere dicendo che epsilon è molto piccolo rispetto ad M

No, non puoi risolvere dicendo che $\epsilon$ è molto piccolo, perché questo non è vero in generale: dipende da $a_n$ (che è generica: ad esempio, se è costante anche gli $\epsilon$ enormi vanno bene nella definizione di limite relativa ad $a_n$).

cosa significa che $epsilon, M$ devono essere arbitrari?

Significa che, indipendentemente da come vengono precedentemente fissati, devono valere il resto delle condizioni seguenti nella definizione di limite. Cioè, deve esistere un $n_\epsilon \in \mathbb{N}$ tale che... eccetera (o un $n_M \in \mathbb{N}$ tale che... eccetera). In parole poverissime, ciò significa che nella dimostrazione non puoi usare le proprietà di uno specifico $\epsilon_0$ o uno specifico $M_0^'$ per dimostrare la validità del risultato: il ragionamento deve essere indipendente dall'$\epsilon$ prefissato o dall'$M'$ prefissato.

[ciaomammalolmao]

Come posso dimostrare che vale anche per M negativi? È necessario comunque perché la successione sia divergente a più infinito che gli M siano positivi no?

A lezione questa proposizione è stata dimostrata fissando come valore particolare $epsilon=1$. Perché in questo caso va bene scegliere un valore fisso di epsilon? Non devo dimostrare come hai detto te che la proposizione vale in generale?

Perchè poi posso fissare la epsilon a piacere in tutti i teoremi sull’algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, etc.? Anche in questi casi il teorema non deve valere sempre? Probabilmente è una cosa banale ma non riesco a capire.
Grazie

[Mephlip]

Prego!

Come posso dimostrare che vale anche per M negativi? È necessario comunque perché la successione sia divergente a più infinito che gli M siano positivi no?

Ho detto un'altra cosa: devi dimostrare che sono equivalenti, ossia che la prima implica la seconda e la seconda implica la prima. Prova a ragionare su questo. Comunque, per ora non dargli troppo peso e concentrati dapprima su quanto dirò dopo in questo messaggio: è un ragionamento un po' più complicato rispetto all'alternativa con i valori assoluti. Se ti interessa, ne possiamo parlare dopo che fissiamo i tuoi dubbi .

A lezione questa proposizione è stata dimostrata fissando come valore particolare $epsilon=1$. Perché in questo caso va bene scegliere un valore fisso di epsilon? Non devo dimostrare come hai detto te che la proposizione vale in generale?

Occhio: tu devi dimostrare che vale in generale a causa dei quantificatori universali: quindi, deve valere per $M'>0$ generico perché quella, per come stai strutturando la dimostrazione, è la variabile relativa al quantificatore universale ("per ogni") corrispondente alla definizione di limite per $a_n+b_n$. In questo caso, $\epsilon$ ed $M$ sono dati dalle ipotesi di limite, non devi dimostrare nulla riguardo a loro. Per capire meglio che intendo, leggi sotto.

Perchè poi posso fissare la epsilon a piacere in tutti i teoremi sull’algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, etc.? Anche in questi casi il teorema non deve valere sempre? Probabilmente è una cosa banale ma non riesco a capire.

Perché li prendi veri per ipotesi. Facciamo un esempio con il teorema della permanenza del segno. Enunciamolo un po' alla buona: "Se $a_n \to 3$, allora definitivamente $a_n>0$". Dato che per ipotesi è vero cge $a_n \to 3$, sai che è vero che per ogni $\epsilon>0$ esiste $N_\epsilon \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, se $n>N_\epsilon$ allora $a_n>3-\epsilon$. Dato che è vero per ogni $\epsilon>0$, è vero in particolare per $\epsilon=1$. Quindi, esiste $N_1 \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, se $n>N_1$ allora $a_n>3-1=2>0$. Ossia, definitivamente $a_n>0$". Torna ora? Lo puoi fare perché per ipotesi è vero che il limite di $a_n$ è $3$ e quindi è vera la definizione di limite con $3$ al posto di $l$; ma la definizione è vera quando per ogni $\epsilon>0$ ... eccetera, quindi se è vera per ogni $\epsilon>0$ è vera in particolare per $\epsilon=1$ e quindi sei legittimato a fissare $\epsilon=1$.

[ciaomammalolmao]

Ah ho capito credo, quindi detto un po’ male, se so per ipotesi che una successione converge, posso scegliere $epsilon$ a piacere perché la proposizione è verificata $AAepsilon$, ma se voglio provare che una successione converge/diverge, devo provare che la definizione è verificata per ogni $M$/$epsilon$? Comunque si mi piacerebbe capire l’equivalenza tra le due definizioni

[Mephlip]

Ah ho capito credo, quindi detto un po’ male, se so per ipotesi che una successione converge, posso scegliere $epsilon$ a piacere perché la proposizione è verificata $AAepsilon$, ma se voglio provare che una successione converge/diverge, devo provare che la definizione è verificata per ogni $M$/$epsilon$?

Esattamente. Avendolo tu preso vero per ipotesi, sai che la definizione è vera e quindi sai che è vera l'arbitrarietà di $\epsilon$ o di $M$ e quindi puoi sfruttarla. Invece, per dimostrare che è vero, devi prefissare un $\epsilon$ o un $M$ generico e far vedere che tutto il resto della definizione di limite è verificata per quell'$\epsilon$ o $M$ prefissato ma generico. Il modo più semplice per capirlo è un esempio in cui si vedono chiaramente sia $\epsilon$ sia $N_\epsilon$: consideriamo \(1/n\) e facciamo vedere che tende a $0$ per $n \to +\infty$. Ragionando intuitivamente, se vuoi che \(|1/n-0|\) stia sotto \(\varepsilon=1\) prefissato, devi prendere $n>1$ (e quindi $N_\epsilon=1$); se vuoi che stia sotto \(\varepsilon=1/10\) prefissato, devi prendere $n>10$ (e quindi $N_\epsilon=10$). Se vuoi che stia sotto \(\varepsilon=1/100\), devi prendere $n>100$ (e quindi $N_\epsilon=100$). Ma questi sono tutti casi specifici: in astratto, dici "Sia $\epsilon>0$ arbitrario" e osservi che \(|1/n-0|<\varepsilon\) è vera se e solo se \(n>1/\varepsilon\). Quindi, esiste \(N_\varepsilon=1/\varepsilon\) tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, se \(n> N_\varepsilon)\) allora \(|1/n-0|<\varepsilon\). Ma $\epsilon>0$ era arbitrario, quindi ciò vale per ogni $\epsilon>0$. Osserva infine la dipendenza di $N$ da $\epsilon$, che viene illustrata dalla presenza di $\epsilon$ al pedice di $N$ nella notazione $N_\epsilon$: se cambia $\epsilon$, in generale cambia anche $N$ come puoi vedere nel caso di \(1/n\).

Comunque si mi piacerebbe capire l’equivalenza tra le due definizioni

Supponiamo vero che per ogni $M \in \mathbb{R}$ esista $N_M \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \in \mathbb{N}$, se $n>N_M$ allora $a_n>M$. Ma dato che ciò vale per ogni $M \in \mathbb{R}$, vale in particolare per ogni $M>0$. Questa era l'implicazione immediata. L'altra è leggermente meno facile: supponiamo che sia vero che per ogni $M>0$ esista $N_M\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n \in \mathbb{N}$, se $n>N_M$ allora $a_n>M$; dobbiamo dimostrare che per ogni $K\in\mathbb{R}$ esiste $N_K\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, se $n>N_K$ allora $a_n>K$. Essendo $K\in\mathbb{R}$, distinguiamo i soli due casi possibili $K \le 0$ o $K>0$. Sia $K \le 0$ arbitrario. Dall'arbitrarietà di $M>0$ nell'ipotesi usata con $M=1$, segue che esiste $N_1\in\mathbb{N}$ tale che per ogni $n\in\mathbb{N}$, se $n>N_1$ allora $a_n>1$. Ma $K \le 0$, quindi $1>K$ e dunque $a_n>1>K$; da ciò segue $a_n>K$. Per l'arbitrarietà di $K \le 0$, ciò vale per ogni $K \le 0$. Ossia, per ogni $K \le 0$ esiste $N_1 \in \mathbb{N}$ tale che per ogni $n \in\mathbb{N}$, se $n>N_1$ allora $a_n>K$. Il caso $K>0$ è immediato perché è già vero per ipotesi (in un certo senso, prendi $K=M$).

Per esercizio, dimostra l'equivalenza tra la definizione di limite reale $l$ con "per ogni $\epsilon>0$" e quella con "per ogni $0<\epsilon \le \epsilon_0"$ con un certo $\epsilon_0>0$ fissato. Da quest'ultima, segue la legittimità dei ragionamenti del tipo "sia $\epsilon>0$ piccolo a piacere" che si legge ogni tanto nelle dimostrazioni di questo tipo: in sostanza, assumere $\epsilon$ più piccolo di una certa soglia prestabilita $\epsilon_0$ non fa perdere di generalità nelle dimostrazioni (proprio perché sono definizioni di limite equivalenti).

Altri esercizi istruttivi sono: verificare che le definizioni con $|a_n-l|<\epsilon$ o $|a_n -l| \le \epsilon$ sono equivalenti, o verificare che le definizioni con $n>N_\epsilon$ o $n \ge N_\epsilon$ sono equivalenti.

[ciaomammalolmao]

Ok mi torna grazie . Ma perché allora in genere si pone $M>0$? Per rendere più evidente il fatto che $a_n->+infty$?

Quello che devo dimostrare quindi è che scelto $epsilon_0>=epsilon>0$ la definizione è equivalente?

[Mephlip]

Prego!

Ok mi torna grazie . Ma perché allora in genere si pone $M>0$? Per rendere più evidente il fatto che $a_n->+infty$?

Che significa "in genere"? Hai letto tutti i libri di analisi del mondo e seguito tutti i corsi di analisi del mondo per avere una statistica significativa sulla maggioranza dell'uso della definizione con $M>0$? Scherzo eh .

Quello che devo dimostrare quindi è che scelto $epsilon_0>=epsilon>0$ la definizione è equivalente?

Sì, ma non devi fissarlo numericamente. Prendi $0<\epsilon \le \epsilon_0$ e cerca di replicare il ragionamento visto nel mio messaggio precedente, riadattandolo opportunamente.

[ciaomammalolmao]

Faccio finta di aver capito quello che ho scritto :/ , è sicuramente sbagliato quindi ti chiedo di spiegarmi come si possa dimostrare.

Provo prima a dimostrare che questa definizione $AAepsilon>0EEn_epsilon$ t.c. $|a_n-l|<epsilon$ quando $n>n_epsilon$ implica l’altra. Considero $epsilon_0>=epsilon$, (posso farlo perché so che la definizione è verificata $AAepsilon>0$ giusto?) so che $|a_n-l|<epsilon<=epsilon_0$ quando $n>n_epsilon$, quindi ho dimostrato che $AAepsilon_0>=epsilon>0EEn_epsilon$ t.c. $|a_n-l|<epsilon$ quando $n>n_epsilon$.
Se invece vale il viceversa cioè $AAepsilon_0>=epsilon>0EEn_epsilon$ t.c. $|a_n-l|<epsilon$ quando $n>n_epsilon$ io posso dire che $|a_n-l|<epsilon<=epsilon_0$. Ma questo vale $AAepsilon_0>0$ e quindi ottengo $AAepsilon_0>0EEn_epsilon$ t.c. $|a_n-l|<epsilon_0$ quando $n>n_epsilon$

[gugo82]

Mi inserisco a cose quasi fatte, ritornando sulla questione iniziale... Vedi un po' se ti torna questo ragionamento.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Devi dimostrare che $a_n + b_n -> +oo$, ossia che:
\[
\tag{*} \forall M > 0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ a_n + b_n > M\; .
\]
Dato che $a_n -> l$ con $l in RR$, la successione $a_n$ è limitata e -in particolare- è limitata inferiormente; dunque esiste un $L \in RR$ tale che:
\[
\forall n \in \mathbb{N},\ a_n \geq L\; .
\]
Ora, scegliamo arbitrariamente $M > max \{ 0, |L|\}=: M_0$, di modo che $M > |L| \geq L => M - L > 0$.
Per la definizione di limite applicata a $b_n$, in corrispondenza di $M - L > 0$ esiste certamente un indice $\mu=\mu_(M-L)$ tale che:
\[
\forall n > \mu,\ b_n > M-L\; .
\]
Ma allora risulta pure:
\[
\forall n > \mu,\ \underbrace{a_n}_{\geq L} + \underbrace{b_n}_{> M-L} > L + (M-L) = M
\]
e dunque la (*) è soddisfatta almeno per gli $M > M_0$ prendendo $\nu = \mu_(M-L)$.

Questo non mostra del tutto che per $(a_n+b_n)$ è soddisfatta la definizione di limite, poiché tale definizione deve valere $AA M > 0$ e non solo per gli $M > M_0$; quindi dobbiamo mostrare che quanto provato vale pure per i valori $0<M<= M_0$.
Scegliamo arbitrariamente un $0<M<=M_0$; per il ragionamento precedente, in corrispondenza del valore $2M_0 > M_0$ è possibile determinare un indice $nu_(2M_0)$ tale che:
\[
\forall n > \nu_{2M_0},\ a_n + b_n > 2M_0\; ;
\]
dato che $2M_0 > M_0 >= M$, per le proprietà della relazione d'ordine possiamo dire che:
\[
\forall n > \nu_{2M_0},\ a_n + b_n > \underbrace{2M_0}_{>M} > M\; ,
\]
quindi la (*) è soddisfatta anche per gli $0 < M <= M_0$ se si sceglie $\nu = \nu_(2M_0)$.

Per quanto riguarda le affermazioni di Mephlip, ossia che sono equivalenti le seguenti condizioni di convergenza:
\[
\begin{split}
\forall \varepsilon > 0,\ &\exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ |a_n - l| < \varepsilon\\
&\text{e} \\
\exists \varepsilon_0 > 0:\quad \forall 0< \varepsilon < \varepsilon_0,\ &\exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ |a_n - l| < \varepsilon
\end{split}
\]
e le corrispondenti condizioni di divergenza:
\[
\begin{split}
\forall M > 0,\ &\exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ a_n > M \text{ [risp. } a_n < -M \text{]}\\
&\text{e} \\
\exists M_0 > 0:\quad \forall M > M_0,\ &\exists \nu \in \mathbb{N}:\quad \forall n > \nu,\ a_n > M \text{ [risp. } a_n < -M \text{]}\; ,
\end{split}
\]
la seconda parte della dimostrazione che ho messo in spoiler ti fornisce una buona tecnica per provare le equivalenze.