Sottosuccessione dei termini dispari e pari

[ciaomammalolmao]

Ciao a tutti volevo chiedervi se mi sapete dimostrare la seguente proposizione:
Sia $a_n$ una successione, essa converge ad $l$ se e solo se $a_(2k)$ e $a_(2k+1)$ convergono entrambe a $l$
Non riesco a dimostrarla nè verso destra nè verso sinistra.

[Mephlip]

Devi almeno provarci, altrimenti non è evidente né a te né a noi quali sono i tuoi dubbi. Cominciamo con l'implicazione destra (ossia, se converge a $l$ la successione convergono allo stesso limite $l$ le sottosuccessioni dei pari e dei dispari). Il suggerimento è: per ogni $n\in\mathbb{N}$, risultano $2n \ge n$ e $2n+1>n$.

[ciaomammalolmao]

Sì scusami hai ragione. A lezione ci è stato detto che se per $n>n_epsilon$ succede che $a_n$ cade in un intorno di $l$, allora prendendo $n=2k+1>=2n_epsilon+1>=n_epsilon$ dimostro l’implicazione verso destra ma non ho capito perché.
Mentre per l’implicazione opposta, sapendo che $a_(2k)$ e $a_(2k+1)$ si trovano in un intorno di $l$ per $k>n_(epsilon_1)$ e per $k>n_(epsilon_2)$ rispettivamente, prendendo il massimo tra $2n_(epsilon_1),2n_(epsilon_2)+1$ si verificano entrambe le condizioni, quindi possiamo concludere che anche $a_n$ converge ad $l$. Non mi torna in questo caso perché devo prendere il massimo tra quei due numeri invece che prendere il massimo tra $n_(epsilon_1),n_(epsilon_2)$, inoltre come faccio a dire che se le sottosuccessioni pari e dispari cadono in un intorno di $l$ per $n>n_epsilon$ allora ci “cade” anche tutta $a_n$?

[Mephlip]

Sì scusami hai ragione. A lezione ci è stato detto che se per $n>n_epsilon$ succede che $a_n$ cade in un intorno di $l$, allora prendendo $n=2k+1>=2n_epsilon+1>=n_epsilon$ dimostro l’implicazione verso destra ma non ho capito perché.

Guardala anche intuitivamente: la definizione di limite ti dice che da un certo punto in avanti i termini di $a_n$ stanno vicino quanto vogliono a $l$. Diciamo che $N_\epsilon$ è questo "certo punto in avanti". Se $n>N_\epsilon$, da $2n \ge n$ e $2n+1>n$, segue che $2n+1>n>N_\epsilon$ e $2n \ge n >N_\epsilon$. Quindi, per l'ipotesi di convergenza della successione anche i termini della successione con indici pari e dispari varcano la "soglia". Quindi, le sottosuccessioni dei pari e dei dispari stanno vicino quanto vogliono a $l$.

Mentre per l’implicazione opposta, sapendo che $a_{2k}$ e $a_{2k+1}$ si trovano in un intorno di $l$ per $k>n_{ε_1}$ e per $k>n_{ε_2}$ rispettivamente, prendendo il massimo tra $2n_{ε_1},2n_{ε_2}+1$ si verificano entrambe le condizioni, quindi possiamo concludere che anche $a_n$ converge ad $l$. Non mi torna in questo caso perché devo prendere il massimo tra quei due numeri invece che prendere il massimo tra $n_{ε_1},n_{ε_2}$, inoltre come faccio a dire che se le sottosuccessioni pari e dispari cadono in un intorno di $l$ per $n>n_ε$ allora ci “cade” anche tutta $a_n$?

Prova a ragionarci alla luce di quanto ho detto appena su.

[ciaomammalolmao]

Grazie per l’aiuto, chiedo scusa se ho ripubblicato più volte, non ritrovavo il vecchio post, ora ci ragiono un attimo ma credo di aver capito