differenziabilità e derivabilità

[Martyyyns]

Ciao a tutti, mi trovo a studiare le funzioni in più variabili e quello che vorrei capire è una differenza concreta tra le seguenti definizioni:
-Derivabile
-Differenziabile
-Di classe C1.

Inoltre vorrei capire un procedimento generale per determinare se la funzione è continua, derivabile, differenziabile e di classe C1 in un dominio.

Queste sono le nozioni che ho, ma che mi risultano molto confuse.
Anzitutto negli esercizi capita spesso una funzione di questo tipo:

$ { (sin (xy)/x),( 0 ):} $ se x $ != $ 0 e se x=0 rispettivamente.

Per studiarne la continuità devo:
1) Calcolare il campo di esistenza di sin(xy)/x. (e già su questo ho dei dubbi in quanto è già specificato di fianco, ma magari potrebbero esserci altri punti problematici oltre lo 0?).
2) Calcolare il limite della funzione per (x,y) che va a (0,yo) poichè non ci sono problemi con la y. Il risultato è yo, ovvero il valore della funzione per (x,y)=(0,yo), in questo caso uguale a 0.

Quindi si può dire che la funzione è continua nel campo di esistenza della funzione sin(xy)/x $ uu $ (0,0). Possiamo dire sia di classe C in tale dominio.

Derivabilità:
1) Calcolo la derivata parziale rispetto a x e rispetto ad y della funzione sin(xy)/x.
2) Calcolo il campo di esistenza di entrambe le derivate parziali: se esistono nel dominio della funzione, allora la funzione è derivabile in tale dominio (?).
Oppure devo anche calcolare il limite delle derivate tendente al punto problematico (lo stesso della continuità) (0,yo)? E affinchè sia derivabile, le derivate parziali devono assumere lo stesso valore della derivata della funzione 0, in questo caso 0, nel limite per (x,y) tendente a (0,yo)?

Classe C1:
Forse l'ultima considerazione che ho scritto è di fatto la definizione di continuità di classe C1?

Differenziabilità:
Per la definizione ho capito che, verificata la continuità della funzione e l'esistenza delle derivate parziali, bisogna calcolare:

$ lim_((X) ->(Xo) )(f(X) - (f(Xo) + <gradf(Xo),X-Xo>))/(||X-Xo || $

Dove Xo è il punto problematico.

Se il limite è 0, allora la funzione è differenziabile.

Dire che è differenziabile significa dire che esiste per ogni versore la derivata direzionale della funzione nel punto problematico.

In alcuni casi esiste una scorciatoia nella determinazione della differenziabilità di una funzione: Teorema del differenziale totale: se la funzione è continua, derivabile, se le derivate parziali sono continue nel dominio (e quindi la funzione di classe C1), allora essa è differenziabile.

[gugo82]

Ciao a tutti, mi trovo a studiare le funzioni in più variabili e quello che vorrei capire è una differenza concreta tra le seguenti definizioni:
-Derivabile
-Differenziabile
-Di classe C1.

Innanzitutto, le prime due proprietà hanno carattere puntuale (una funzione è derivabile/differenziabile in un punto alla volta), mentre la terza ha carattere globale (una funzione è $C^1$ se è derivabile in ogni punto interno e le derivate parziali sono funzioni continue in ogni punto interno al dominio).

Poi, c'è il fatto che valgono le implicazioni:
\[
f \text{ di classe } C^1 \text{ nel dominio}\ \Rightarrow\ f \text{ differenziabile nel dominio}\ \Rightarrow\ f \text{ derivabile nel dominio}
\]
ma non valgono, in generale, le implicazioni inverse perché ci sono controesempi classici: li conosci?

Inoltre vorrei capire un procedimento generale per determinare se la funzione è continua, derivabile, differenziabile e di classe C1 in un dominio.

Queste sono le nozioni che ho, ma che mi risultano molto confuse.
Anzitutto negli esercizi [...]

Scusa, ma perché dici di avere confusione nelle nozioni di teoria e poi parli di esercizi?...

[...] capita spesso una funzione di questo tipo:

$ { (sin (xy)/x, ", se " x != 0),( 0, ", se " x=0 ):} $

Per studiarne la continuità devo:
1) Calcolare il campo di esistenza di $(sin(xy))/x$. (e già su questo ho dei dubbi in quanto è già specificato di fianco, ma magari potrebbero esserci altri punti problematici oltre lo $0$?).

Se il dominio di un'espressione è già specificato, puoi assumere che sia corretto... Dacci uno sguardo comunque (perché errori di battitura sono sempre dietro l'angolo), ma non è una cosa di cui preoccuparsi troppo.

2) Calcolare il limite della funzione per $(x,y)$ che va a $(0,y_0)$ poiché non ci sono problemi con la $y$. Il risultato è $y_0$, ovvero il valore della funzione per $(x,y)=(0,y_0)$, in questo caso uguale a 0.

"Ovvero"?
Perché? Hai detto da qualche parte che $y_0=0$?

Rifletti: il risultato del tuo limite ti porta a concludere una cosa se $y_0=0$ ed un'altra se $y_0!=0$... Cosa?

Quindi si può dire che la funzione è continua nel campo di esistenza della funzione $(sin(xy))/x uu (0,0)$.

Questo non vuol dire nulla... Cos'è l'unione di una espressione analitica con un punto del piano?

Possiamo dire sia di classe C in tale dominio.

Sicuro???

Prima di concludere dovresti rivedere i passaggi precedenti.

Derivabilità:
1) Calcolo la derivata parziale rispetto a $x$ e rispetto ad $y$ della funzione $(sin(xy))/x$.

Dove?
In quale insieme ha senso calcolare senza troppi intoppi le derivate?

2) Calcolo il campo di esistenza di entrambe le derivate parziali: se esistono nel dominio della funzione, allora la funzione è derivabile in tale dominio (?).

Anche no... Una derivata non ha un dominio "suo"; il dominio della derivata dipende da dove la funzione inziale è derivabile.

Tanto per capirci, hai la funzione di una variabile $f:[-1,1] -> RR$ che associa $f(x) = x$.
Qual è la sua derivata e dove è definita?

Oppure devo anche calcolare il limite delle derivate tendente al punto problematico (lo stesso della continuità) $(0,y_0)$? E affinché sia derivabile, le derivate parziali devono assumere lo stesso valore della derivata della funzione $0$, in questo caso $0$, nel limite per $(x,y)$ tendente a $(0,y_0)$?

Che vuol dire "le derivate parziali devono assumere lo stesso valore della derivata della funzione $0$"?
Cerca di chiarirti cos'è una derivata parziale, prima di rispondere.

Classe C1:
Forse l'ultima considerazione che ho scritto è di fatto la definizione di continuità di classe C1?

No, quella roba lì significa poco e nulla.
Cerca di chiarirti (leggendo anche quanto ho scritto più su) cosa significa che $f in C^1$.

Differenziabilità:
Per la definizione ho capito che, verificata la continuità della funzione e l'esistenza delle derivate parziali, bisogna calcolare:

$ lim_((x,y) ->(x_0,y_0) )(f(x,y) - (f(x_0,y_0) + << gradf(x_0,y_0), (x-x_0, y-y_0) >> ))/(sqrt((x-x_0)^2 + (y - y_0)^2)) $

Dove $(x_0,y_0)$ è il punto problematico.

Se il limite è $0$, allora la funzione è differenziabile.

Questa è la definizione.

Dire che è differenziabile significa dire che esiste per ogni versore la derivata direzionale della funzione nel punto problematico.

No.
Dire che una funzione è differenziabile in un punto significa esattamente quello che hai scritto due righe sopra.
Questo che scrivi qui è una conseguenza della condizione di differenziabilità.

In alcuni casi esiste una scorciatoia nella determinazione della differenziabilità di una funzione: Teorema del differenziale totale: se la funzione è continua, derivabile, se le derivate parziali sono continue nel dominio (e quindi la funzione di classe C1), allora essa è differenziabile.

Già... Ma qui non hai ancora concluso nulla, quindi una scorciatoia che non puoi ancora imboccare.

[Martyyyns]

Nella domanda iniziale io ho specificato di avere dubbi sulle definizioni di continuità, derivabilità e differenziabilità. Quindi so perfettamente che tante cose che ho detto sono errate. Ho tenuto a fare l'esempio dell'esercizio per far capire le nozioni sbagliate che possiedo, sperando in una correzione.

[Martyyyns]

"Ovvero"?
Perché? Hai detto da qualche parte che $y_0=0$?

Rifletti: il risultato del tuo limite ti porta a concludere una cosa se $y_0=0$ ed un'altra se $y_0!=0$... Cosa?

Non so dare una risposta, puoi chiarirmelo ?

Questo non vuol dire nulla... Cos'è l'unione di una espressione analitica con un punto del piano?

Intendevo l'unione tra i punti del campo di esistenza dell funzione e il punto (0,0).

In quale insieme ha senso calcolare senza troppi intoppi le derivate?

Nel campo di esistenza della funzione?

Anche no... Una derivata non ha un dominio "suo"; il dominio della derivata dipende da dove la funzione inziale è derivabile.

Questo è assolutamente vero e non ci avevo riflettuto.

Vorrei allegare il procedimento di un esercizio simile per far capire anche a cosa alludevo, probabilmente sbagliando tutti i passaggi:

[gugo82]

"Ovvero"?
Perché? Hai detto da qualche parte che $y_0=0$?

Rifletti: il risultato del tuo limite ti porta a concludere una cosa se $y_0=0$ ed un'altra se $y_0!=0$... Cosa?

Non so dare una risposta, puoi chiarirmelo ?

Facciamo un disegno... Questa è la situazione che ti si presenta davanti agli occhi quando rappresenti il dominio di $f$ (che è tutto $RR^2$) e le zone in cui essa ha espressioni differenti:

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l'espressione $0$ vale sui punti dell'asse delle ordinate, l'altra, cioè $(sin(xy))/x$, vale in tutti i restanti punti del piano.

Studiamo la continuità di $f$.
Prendiamo un punto $(x_0,y_0) \in RR^2$. Se il punto $(x_0,y_0)$ è un punto che non è sull'asse delle ordinate, i.e. se $x_0 != 0$, allora $(x_0,y_0)$ è un punto interno alla regione in cui $f(x,y) = (sin(xy))/x$.

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Ciò implica che esiste un intorno completo di $(x_0,y_0)$ in cui vale:

$f(x,y) = (sin(xy))/x$

perché ogni punto di tale intorno ha $x != 0$; ma allora $f$ è continua in $(x_0,y_0)$, perché composta da funzioni continue in(torno a) tale punto.

Viceversa, se $(x_0,y_0)$ sta sull'asse delle ordinate, cioè se $x_0=0$, allora in ogni intorno completo di $(x_0,y_0)$ cadono sia punti in cui $f(x,y) = (sin(xy))/x$ sia punti in cui $f(x,y)=0$.

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In questo caso, per verificare la continuità in $(x_0,y_0) = (0,y_0)$ non possiamo appoggiarci sui risultati di continuità delle funzioni elementari, ma dobbiamo andare a verificare esplicitamente se:

$lim_((x,y) -> (0,y_0)) f(x,y) = f(0,y_0)$.

Chiaramente $f(0,y_0) = 0$ per ogni $y_0 in RR$; ed altrettanto chiaramente il limite al primo membro della precedente dà $0$ se esso è calcolato limitatamente alla restrizione di $f$ all'asse delle ordinate (perché su tale restrizione si ha $f(x,y)=0$ per definizione); tuttavia, non appena si calcola il valore del limite su restrizioni differenti di $f$ (ad esempio, quelli ai diametri non verticali dell'intorno completo evidenziato in grigio), risulta:

$lim_((x,y) -> (0,y_0)) (sin(xy))/x = lim_((x,y) -> (0,y_0)) (sin(xy))/(xy)\ y = y_0$;

conseguentemente $f$ è continua in $(0,y_0)$ se e solo se $y_0 = f(0,y_0) = 0$, cioè l'unico punto dell'asse delle ascisse in cui $f$ è continua è l'origine $O=(0,0)$.

Da ciò segue che non ha alcun senso chiedersi se $f$ è differenziabile nei punti $(0,y_0)$ con $y_0 != 0$, né se $f$ è $C^1$ nel suo dominio.

***

Per quanto riguarda la derivabilità (parziale rispetto alle due variabili), il discorso si porta avanti allo stesso modo... Riesci ad imbastirlo da solo?
Prova un po'.

Questo non vuol dire nulla... Cos'è l'unione di una espressione analitica con un punto del piano?

Intendevo l'unione tra i punti del campo di esistenza della funzione e il punto (0,0).

"La funzione" quale?
Qua ce n'è solo una di funzione, ed è $f$.

In quale insieme ha senso calcolare senza troppi intoppi le derivate?

Nel campo di esistenza della funzione?

No. Perché?

Anche no... Una derivata non ha un dominio "suo"; il dominio della derivata dipende da dove la funzione inziale è derivabile.

Questo è assolutamente vero e non ci avevo riflettuto.

Ma questo è materia su cui riflettere già in Analisi I... Cosa mi dici dell'esempio in una variabile che ti ho proposto?

Vorrei allegare il procedimento di un esercizio simile per far capire anche a cosa alludevo, probabilmente sbagliando tutti i passaggi:

Se lo svolgimento non è tuo, poco importa leggerlo.