Volume con integrali tripli

[Rosa333]

Buongiorno, ho riscontrato difficoltà nel calcolare il volume di questo compatto:

$A= \{(x,y,z) \in R^3: 2x^2 -1 \leq 3y^2 + 5z^2 \leq x^2 + 3 \}$


A dovrebbe essere l'intersezione di un'iperboloide a due falde e di un'iperboloide a 1 falda.
La prima cosa da fare immagino sia effettuare un cambio di coordinate, utilizzando le cilindriche riscalate, ma in questo caso non saprei come procedere. Avete qualche consiglio?

Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao Rosa333,

Benvenuta sul forum!

Comincerei con l'osservare che nella catena di disuguaglianze che definisce

$A = \{(x,y,z) \in \RR^3: 2x^2 - 1 \le 3y^2 + 5z^2 \le x^2 + 3\} $

i due membri più a destra sono senz'altro positivi, sicché prendendo solo il primo e l'ultimo membro si ottiene la disequazione $2x^2 - 1 \le x^2 + 3 \implies x^2 - 4 \le 0 \iff x \in [- 2, 2] $

[gugo82]

Così, a sentimento¹, proverei una cosa del tipo:

$\{(x = h), (y = 1/sqrt(3) r cos theta), (z = 1/sqrt(5) r sin theta):}$...

Vedi un po' cosa ottieni.

---

Note

1. Il che vuol dire: anche senza sapere che forma geometrica ha il dominio. ↑

[Rosa333]

Buon pomeriggio a tutti, intanto grazie per i consigli che mi avete dato, sono stati preziosi.
Ho provato a svolgere l'esercizio con il cambio di variabili proposto, non sono riuscita però a completarlo correttamente. Ho calcolato la matrice jacobiana e il suo determinante, che risulta essere uguale a: $ detJ= \frac{1}{sqrt[15]}r $ .
Ho poi calcolato gli estremi di integrazione, usando le due disequazioni:
$3y^2+5z^2 \geq 2x^2 -1$
$3y^2+5z^2 \leq x^2 + 3$

e sostituendo a x,y,z le variabili proposte.
Ho così ottenuto $sqrt[2h^2 -1] \leq r \leq sqrt[h^2+3]$ e $-2 \leq h \leq 2$.
Perciò l'integrale completo risulta essere:

$\int_{0}^{2\pi}\int_{-2}^{2}\int_{sqrt[2h^2 -1]}^{sqrt[h^2+3]} \frac{1}{sqrt[15]}r\ drdtdh$

Svolgendolo ottengo come risultato $ Vol(A)= \frac{\pi sqrt[15]}{45}32 $, quando il risultato corretto è $ Vol(A)= \frac{\pi sqrt[15]}{45}(32 - 2sqrt[2] ) $. Dove posso aver sbagliato?

Grazie mille per l'aiuto!

[Mephlip]

Non ho controllato tutti i conti, ma se tutto il resto è corretto l'intervallo in cui varia \(h\) è sbagliato. Se \(h=0\), ottieni un numero negativo sotto il segno di radice quadrata in \(\sqrt{2h^2-1}\).

[Rosa333]

Sì probabilmente l'intervallo di h è sbagliato, il problema è che non saprei come correggermi, avete dei suggerimenti su quale possa essere l'intervallo giusto?

Grazie e scusate per il disturbo

[gugo82]

Sì probabilmente l'intervallo di h è sbagliato, il problema è che non saprei come correggermi, avete dei suggerimenti su quale possa essere l'intervallo giusto?

Più che altro un suggerimento... Non risolvere equazioni "a macchinetta", senza ragionare.

Sostituendo le nuove variabili nelle limitazioni assegnate ottieni:
\[
2h^2 - 1 \leq r^2 \leq h^2 + 3\ \land -2\leq h \leq 2\ \Leftrightarrow\ \begin{cases} r^2 \geq 2h^2 - 1 \\ r^2 \leq h^2 + 3 \\ -2\leq h \leq 2\end{cases}
\]
e si vede che la prima disequazione va discussa al variare del parametro $h$, poiché il secondo membro cambia di segno e non è sempre possibile prenderne la radice.

[pilloeffe]

Era da un po' che lo stavo preparando...
Si ha:

$ \int_0^{2\pi}\int_{-2}^{- \sqrt2/2}\int_{\sqrt[2h^2 -1]}^{\sqrt[h^2+3]} \frac{1}{\sqrt[15]}r\text{d}r\text{d}t\text{d}h + \int_0^{2\pi}\int_{\sqrt2/2}^2 \int_{\sqrt[2h^2 -1]}^{\sqrt[h^2+3]} \frac{1}{\sqrt[15]}r\text{d}r\text{d}t\text{d}h + $
$ + \int_0^{2\pi}\int_{-\sqrt2/2}^{+\sqrt2/2} \int_{0}^{\sqrt[h^2+3]} \frac{1}{\sqrt[15]}r\text{d}r\text{d}t\text{d}h = $

$ = (2\pi)/\sqrt15 \int_{-2}^{- \sqrt2/2}\int_{\sqrt[2h^2 -1]}^{\sqrt[h^2+3]} r\text{d}r \text{d}h + (2\pi)/\sqrt15 \int_{\sqrt2/2}^2 \int_{\sqrt[2h^2 -1]}^{\sqrt[h^2+3]} r\text{d}r \text{d}h + (2\pi)/\sqrt15 \int_{-\sqrt2/2}^{+\sqrt2/2} \int_{0}^{\sqrt[h^2+3]} r\text{d}r \text{d}h = $

$ = \frac{\pi}{\sqrt[15]} \int_{-2}^{- \sqrt2/2} [r^2]_{\sqrt[2h^2 -1]}^{\sqrt[h^2+3]} \text{d}h + (\pi)/\sqrt15 \int_{\sqrt2/2}^2 [r^2]_{\sqrt[2h^2 -1]}^{\sqrt[h^2+3]} \text{d}h + (\pi)/\sqrt15 \int_{-\sqrt2/2}^{+\sqrt2/2} [r^2]_{0}^{\sqrt[h^2+3]} \text{d}h = $

$ = \frac{\pi}{\sqrt[15]} \int_{- 2}^{-\sqrt2/2} [h^2 + 3 - 2h^2 + 1]\text{d}h + \frac{\pi}{\sqrt[15]} \int_{\sqrt2/2}^2 [h^2 + 3 - 2h^2 + 1]\text{d}h + \frac{\pi}{\sqrt[15]} \int_{-\sqrt2/2}^{+\sqrt2/2} [h^2 + 3]\text{d}h = $

$ = \frac{\pi}{\sqrt[15]} \int_{- 2}^{-\sqrt2/2} [4 - h^2]\text{d}h + \frac{\pi}{\sqrt[15]} \int_{\sqrt2/2}^2 [4 - h^2]\text{d}h + \frac{\pi}{\sqrt[15]} [h^3/3 + 3h]_{-\sqrt2/2}^{+\sqrt2/2} = $

$ = \frac{\pi}{\sqrt[15]} [4h - h^3/3]_{- 2}^{-\sqrt2/2} + \frac{\pi}{\sqrt[15]} [4h - h^3/3]_{\sqrt2/2}^2 + \frac{\pi}{\sqrt[15]} [h^3/3 + 3h]_{-\sqrt2/2}^{+\sqrt2/2} = $

$ = \frac{\pi}{\sqrt[15]}[- 2\sqrt2 + \sqrt2/12 + 8 - 8/3 + 8 - 8/3 - 2\sqrt2 + \sqrt2/12 +\sqrt2/12 + (3\sqrt2)/2 + \sqrt2/12 + (3\sqrt2)/2] = $

$ = \frac{\pi}{\sqrt[15]}[16 - 16/3 - 4\sqrt2 + \sqrt2/3 +3\sqrt2] = \frac{\pi}{3\sqrt[15]}[48 - 16 - 12\sqrt2 + \sqrt2 + 9\sqrt2] = $

$ = \frac{\pi}{3\sqrt[15]}[32 - 2\sqrt2] = \frac{\sqrt[15]\pi}{45}[32 - 2\sqrt2] $

[sellacollesella]

Vabbuò, schiaffo pure la mia versione.

La prima cosa da fare immagino sia effettuare un cambio di coordinate.

In verità si può farne a meno, in quanto una volta mostrato che si tratta di un solido costituito da strati di area calcolabile in modo banale si riduce ad una integrazione singola; da noi era un must ad "analisi 2".

In particolare, assegnato: \[
A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:2x^2-1\le 3y^2+5z^2\le x^2+3\right\}
\] è evidente che: \[
2x^2-1\le x^2+3 \quad\Leftrightarrow\quad -2\le x\le 2
\] quindi, per simmetria, possiamo considerare: \[
B=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 2,\,2x^2-1\le 3y^2+5z^2\le x^2+3\right\}
\] che a sua volta è la differenza tra: \[
\begin{aligned}
&B_1=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 2,\,3y^2+5z^2\le x^2+3\right\};\\
&B_2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le 2,\,3y^2+5z^2\le 2x^2-1\right\}.\\
\end{aligned}
\] Pertanto, ne consegue che: \[
\begin{aligned}
||A||
&=2\left(\int_0^2 \pi\sqrt{\frac{x^2+3}{3}}\sqrt{\frac{x^2+3}{5}}\,\text{d}x-\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^2 \pi\sqrt{\frac{2x^2-1}{3}}\sqrt{\frac{2x^2-1}{5}}\,\text{d}x\right)\\
&=\frac{2\pi}{\sqrt{15}}\left(\int_0^2\left(x^2+3\right)\text{d}x-\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^2\left(2x^2-1\right)\text{d}x\right)\\
&=\frac{2\pi}{\sqrt{15}}\left(\frac{26}{3}-\frac{10+\sqrt{2}}{3}\right)\\
&=\frac{2\pi}{3\sqrt{15}}\left(16-\sqrt{2}\right)\\
\end{aligned}
\] dove basta ricordare che \(\text{area}\left(\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}\le 1\right)=\pi\,a\,b\).

[Quinzio]

Buongiorno, ho riscontrato difficoltà nel calcolare il volume di questo compatto:

$A= \{(x,y,z) \in R^3: 2x^2 -1 \leq 3y^2 + 5z^2 \leq x^2 + 3 \}$


A dovrebbe essere l'intersezione di un'iperboloide a due falde e di un'iperboloide a 1 falda.
La prima cosa da fare immagino sia effettuare un cambio di coordinate, utilizzando le cilindriche riscalate

Si, la strada piu facile e' quella.
Se nell'espressione vedi che 2 delle 3 variabili sono scritte cosi': $ax^2 + by^2$, significa che hai a che fare con un'ellisse e che devi ricondurti a delle coordinate cilindriche con questi due cambi di variabile, in modo che l'ellisse diventi un cerchio:
sostituire $x$ con $x/\sqrt a$
$y$ con $y/\sqrt b$

Nel tuo caso ottieni:
$2x^2 -1 \leq y^2 + z^2 \leq x^2 + 3 $
e poi usi il raggio $r$
$2x^2 -1 \leq r^2 \leq x^2 + 3 $

A questo punto gli integrali da risolvere diventano facili:

$\pi \int_0^2 (x^2+3) dx = \pi |(1/3 x^3 + 3x)|_0^2 = ....$

$\pi \int_{1/\sqrt2}^2 (2x^2-1) dx = \pi |(2/3 x^3 -x)|_{1/\sqrt2}^2 = ...$

Alla fine ti devi ricordare del cambio di variabili e quindi devi moltiplicare per $1/(\sqrta \sqrtb)$ e in questo caso moltiplicare per 2 siccome gli integrali sono solo su semispazio $x>0$, o su una delle 2 falde dell'iperboloide.

Oppure ad esempio se devi calcolare il volume di $ax^2+by^2+cz^2 = 1$ (un ellissoide), tu sai gia' che il volume e' quello di una sfera unitaria $4/3 \pi$, moltiplicato per $1/(\sqrta \sqrtb \sqrtc )$, senza neanche impostare un integrale.