Aiuto integrale

[Tony_exe]

Buonasera,
mi sto trovando in difficolta con il calcolo del seguente integrale indefinito : $ int cos^2x/(sin(x)+cos(x))^2 dx $.

Sono arrivato a semplificare la funzione integranda fino ad arrivare a $ int cos^2x/(1+sin(2x)) dx $ (il che potrebbe essere sbagliato già da questo punto).
poi sostituendo $ cos^2(x) $ con $ 1-sin^2(x) $, sono arrivato a $ int (1-sin^2(x))/(1+sin(2x)) dx $ .
Tra gli ultimi passaggi che ho fatto, è sostituire $ sin(x)=t $ , $ x=arcsin(t) $ , $ dx=1/(sqrt{1-t^2})dt $ .
Da qui facendo le dovute sostituzioni sono arrivato a $ int (1-t^2)/(sqrt{1-t^2}+1-t^2)dt $ .

Nel caso il procedimento fino ad ora sia giusto, qualcuno mi potrebbe dare una mano a concludere l'esercizio?

Grazie

[Mephlip]

Osserva che \(\cos^2 x = \left(1+\cos(2x)\right)/2 \), quindi:
\[ \int \frac{\cos^2 x}{(\sin x+\cos x)^2} \text{d}x = \frac{1}{2} \left(\int \frac{1}{(\sin x+\cos x)^2} \text{d}x+\int \frac{\cos(2x)}{1+\sin(2x)} \text{d}x\right)\]
\[ = \frac{1}{2} \left(\int \frac{1}{\cos^2 x(\tan x+1)^2} \text{d}x+\frac{1}{2}\int \frac{2\cos(2x)}{1+\sin(2x)} \text{d}x\right) \]
Riesci a concludere?

[Tony_exe]

sinceramente, non capisco come continuare

[Mephlip]

Qual è la derivata di \(\sin(2x)\)? E quella di \(\tan x\)?

[pilloeffe]

Ciao Tony_exe,

sinceramente, non capisco come continuare

Per il primo integrale che ti ha scritto Mephlip (il secondo è veramente semplice, perché è del tipo immediato $\int (f'(x))/(f(x)) \text{d}x $ il cui risultato dovrebbe esserti noto, in caso contrario suggerisco caldamente uno studio più approfondito degli integrali... ) puoi anche sfruttare la regola della derivata di un quoziente:

$ (\text{d})/(\text{d}x) (\frac{sin x}{sin x + cos x}) = (sin^2 x + cos^2 x)/(sin x + cos x)^2 = 1/(sin x + cos x)^2 $

Sicché si ha subito:

$ \int \frac{1}{(\sin x+\cos x)^2} \text{d}x = \frac{sin x}{sin x + cos x} + c $

[Tony_exe]

sisi ci sono arrivato! Ieri sera, probabilmente per la stanchezza, non ho notato le varie derivate.