Dubbio su integrale generalizzato con parametro

[Dany 30]

Salve,
scrivo per chiedervi un aiuto riguardo un integrale generalizzato con parametro che ho provato a fare, ma la soluzione del libro non coincide perfettamente con la mia:
$\int_1^∞frac{(x-1)^α * log(x)}{1+log(x)^2}dx$

Ho scritto l' asintotico nell' intorno di +∞, giungendo quindi a tale integrale:
$\int_1^∞frac{x^α * log(x)}{log(x)^2}dx$

Portando giù $x^α$ e il $log(x)$, ho confrontato l' integrale così ottenuto con l' integrale notevole di Abel.
Pertanto il suddetto integrale dovrebbe convergere per $α<-1 $e$ AAb in R.$
Tuttavia, non riesco a capire perché la soluzione del libro riporta che l' integrale converge per $-2<α<-1$.

[ingres]

Ciao, benvenuto/a nel Forum.

Proverei a controllare anche cosa succede all'integrale per $x->1$ quando $alpha < 0$