Strategia con quesito con problema di Cauchy

[ncant]

Mi viene posto il quesito seguente:

Sia $ y(t) $ la soluzione del problema di Cauchy seguente:
\[
\begin{cases}
y' = 3 \sin t + y^2 \\
y(0) = \pi
\end{cases}
\]
Vicino al punto $ t = 0 $, $ y(t) $ ha

concavità verso l'alto e retta tangente con pendenza positiva;
concavità verso il basso e retta tangente con pendenza positiva;
concavità verso l'alto e retta tangente con pendenza negativa;
concavità verso il basso e retta tangente con pendenza negativa.

Ora, la mia idea iniziale era quella di risolvere prima il problema di Cauchy, poi di indagare studiando la derivata prima e seconda, ma, trattandosi di un quesito (su 8) presente in un compito da risolvere in un'ora, mi chiedevo se fosse davvero questa la maniera di procedere.

[Mephlip]

Suggerimenti vari: che puoi dire sulla regolarità (ossia, la classe \(\mathcal{C}^k\)) di \(y\)? Dato che si parla anche di convessità, puoi calcolare \(y''\)? Se sì, che puoi dire sul segno di \(y'\) e \(y''\) in un intorno di \(t=0\)?

[Fioravante Patrone]

...
Ora, la mia idea iniziale era quella di risolvere prima il problema di Cauchy, poi di indagare studiando la derivata prima e seconda, ma, trattandosi di un quesito (su 8) presente in un compito da risolvere in un'ora, mi chiedevo se fosse davvero questa la maniera di procedere.

Fai bene a dubitare.
Per parte mia, conoscendo i polli (prof ed esercizi), non c'è dubbio che la strada di risolvere il pb di Cauchy NON è quella da seguire.

Il prof (o chi per esso) vuole che tu osservi questo:
da $y' = 3 \sin t + y^2$ e da $y(0) = \pi$ puoi dedurre banalmente che:
$y'(0) = 3 \sin(0) + \pi^2$, ovvero $y'(0) > 0$.

E poi usi i suggerimenti di chi mi ha preceduto.

Secondo step, e anche questo non richiede né immane fatica né soverchio tempo, puoi derivare entrambi i membri della equadiff e quindi come sopra trovarti $y''(0)$. Sempre tenendo a mente quello che ha scritto Mephlip che, da furbastro quale è, ha menzionato la regolarità della soluzione di questo pb di Cauchy (che... naturalmente esiste ed è unica).

Buona continuazione

[ncant]

Scusate a tutti per la risposta mooolto in ritardo.

Grazie mille a tutti per i suggerimenti!

Solo una domanda: tecnicamente, per calcolare la derivata seconda partendo solo dall'equazione differenziale dovrei differenziare le due parti con derivate parziali.

Ma, ad esempio, nel caso di

\[ y' - (t + 2) \left(1 + \frac{1}{y} \right) = 0 \]

non posso di certo usare la regola tipica per calcolare la derivata prima del prodotto di due funzioni: stiamo lavorando con le derivate parziali.
Quindi ciò risulta nel prodotto delle due funzioni derivate separatamente?

[Mephlip]

A parte che le regole di derivazione rimangono invariate anche per derivate parziali, ma tu devi derivare rispetto a \(t\). Scrivi esplicitamente le dipendende: \[
y'(t)=(t+2)\left(1+\frac{1}{y(t)}\right)
\]e deriva ambo i membri rispetto a \(t\).

[gabriella127]

@ncant Pensaci bene un attimo. Dove le vedi le derivate parziali?
Si tratta di una equazione differenziale ordinaria, hai una funzione $y(t)$ di una sola variabile, $t$.

Mi sa che ti confondi, e consideri $y$ come un'altra variabile oltre a $t$.
Scrivi $y(t)$ al posto di $y$ e va tutto a posto.

[edit] ho risposto prima di vedere la risposta ultima di Mephlip.

[Fioravante Patrone]

Ovviamente Mephlip e gabriella127 hanno già spiegato.

Vorrei aggiungere che...
Il modo di scrivere le equadiff risente dell'influenza nefasta (per i matematici) dei fisici.
Amano confondere la "y" (da taluni detta variabile dipendente) con la funzione che ad x associa y=f(x).
Li posso capire, dopotutto hanno le loro ragioni, ma che se ne stassero a casa loro