limite della forma $0^0$ $\rightarrow$ $0$

[Livius]

Trovare due funzioni ad una variabile reale $f(x)$ e $g(x)$, tali che $ \varphi (x) :=f(x)^g(x)$ non sia mai costante e definita in un aperto non vuoto di $ \mathbb R$ e tali che $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$ per un certo $a \in \mathbb R \cup \{ \pm \infty \}$, di modo tale che $\lim_{x \rightarrow a} \varphi (x) = 0$.

[otta96]

Cosa hai provato?

[AleBoschi03]

Per trovare due funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) che soddisfino le condizioni richieste, possiamo considerare le seguenti:

\[ f(x) = \frac{1}{x-a} \]

\[ g(x) = (x-a)^2 \]

In questo caso, \( f(x) \) e \( g(x) \) sono definite in \( \mathbb{R} \) tranne che in \( x = a \). Inoltre, abbiamo che \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \).

Ora, consideriamo la funzione \( \varphi(x) = f(x)g(x) \):

\[ \varphi(x) = \frac{(x-a)^2}{x-a} = x-a \]

La funzione \( \varphi(x) \) non è costante, ed è definita in \( \mathbb{R} \) tranne che in \( x = a \). Inoltre, abbiamo:

\[ \lim_{x \to a} \varphi(x) = \lim_{x \to a} (x-a) = 0 \]

Quindi, le funzioni \( f(x) \), \( g(x) \), e \( \varphi(x) \) soddisfano tutte le condizioni richieste.

Certo, andiamo attraverso le ragioni in modo più dettagliato.

Consideriamo le funzioni \( f(x) = \frac{1}{x-a} \) e \( g(x) = (x-a)^2 \). Entrambe sono definite in \( \mathbb{R} \) tranne che in \( x = a \).

1. **Limite di \( f(x) \) e \( g(x) \) quando \( x \to a \):**
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} = 0 \]
\[ \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} (x-a)^2 = 0 \]

Entrambi i limiti convergono a zero quando \( x \) si avvicina a \( a \).

2. **Prodotto di \( f(x) \) e \( g(x) \):**
Ora, consideriamo il prodotto \( \varphi(x) = f(x)g(x) \):
\[ \varphi(x) = \frac{(x-a)^2}{x-a} = x - a \]

La funzione \( \varphi(x) \) non è costante, poiché è una retta con coefficiente angolare unitario. Inoltre, è definita in \( \mathbb{R} \) tranne che in \( x = a \).

3. **Limite di \( \varphi(x) \) quando \( x \to a \):**
\[ \lim_{x \to a} \varphi(x) = \lim_{x \to a} (x - a) = 0 \]

Quindi, le funzioni \( f(x) \), \( g(x) \), e il loro prodotto \( \varphi(x) \) soddisfano le condizioni richieste: \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) e \( \lim_{x \to a} \varphi(x) = 0 \), e \( \varphi(x) \) non è costante, essendo una retta con coefficiente angolare non nullo.

[pilloeffe]

Ciao AleBoschi03,

Attenzione che $\varphi(x) = f(x)^{g(x)} $ non $\varphi(x) = f(x)g(x) $ e con la scelta di funzioni $f(x) = \frac{1}{x-a} $ e $g(x) = (x - a)^2 $ non è vero che $\lim_{x \to a} f(x) = 0 $ e si ha

$\lim_{x \to a} \varphi(x) = \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to a} (\frac{1}{x-a})^{(x - a)^2} = 1 $

mentre la richiesta è che risulti $\lim_{x \to a} \varphi(x) = 0 $, non $\lim_{x \to a} \varphi(x) =1$

La soluzione che ho pensato:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f(x) = 1/x^x $ e $g(x) = 1/x $, in modo tale che $\varphi(x):=f(x)^g(x) = (1/x^x)^{1/x} = 1/x $ non è mai costante ed è definita in un aperto non vuoto $ D := (0, +\infty) \subset \RR $ con $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 $ e $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) =0 $

[Alessandro Boscaro]

Ciao AleBoschi03,

Attenzione che $\varphi(x) = f(x)^{g(x)} $ non $\varphi(x) = f(x)g(x) $ e con la scelta di funzioni $f(x) = \frac{1}{x-a} $ e $g(x) = (x - a)^2 $ non è vero che $\lim_{x \to a} f(x) = 0 $ e si ha

$\lim_{x \to a} \varphi(x) = \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = \lim_{x \to a} (\frac{1}{x-a})^{(x - a)^2} = 1 $

mentre la richiesta è che risulti $\lim_{x \to a} \varphi(x) = 0 $, non $\lim_{x \to a} \varphi(x) =1$

La soluzione che ho pensato:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$f(x) = 1/x^x $ e $g(x) = 1/x $, in modo tale che $\varphi(x):=f(x)^g(x) = (1/x^x)^{1/x} = 1/x $ non è mai costante ed è definita in un aperto non vuoto $ D := (0, +\infty) \subset \RR $ con $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x) = 0 $ e $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) =0 $

Ciao, grazie mille per la correzione, prenderò spunto da essa. La prossima volta farò più attenzione. A volte sbaglio in modo stupido logicamente a dei singoli calcoli ahah

[pilloeffe]

grazie mille per la correzione, prenderò spunto da essa.

Prego.

Ti chiederei però la cortesia di non rispondere ai post col pulsante "CITA, ma col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina. Questo perché raramente è necessario citare tutto il messaggio di chi ti ha risposto e anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread. Comunque tranquillo, all'inizio della frequentazione del forum ci siamo cascati tutti, sottoscritto incluso...