Dimostrare un integrale con l'induzione

[Elagabalus04]

Salve!
Sono alle prese con questo esercizio, ma non saprei come procedere..-
Dimostrare per induzione che
$ int_(0)^(+oo) x^n*e^(-x) dx = n! $

[Mephlip]

Ciao Elagabalus04, benvenut* sul forum!

In che senso non sai come procedere? Dove ti blocchi? Il principio di induzione inizia con una richiesta ben specifica: quanto vale $\int_0^{+\infty} x^0 e^{-x} \text{d}x$? E quanto vale $0!$?

Inoltre, una nota terminologica: gli integrali non si "dimostrano", si calcolano. Al più, qui ha senso richiedere "Dimostrare che vale l'uguaglianza..."

[pilloeffe]

Ciao Elagabalus04,

Ponendo $I_n := \int_0^(+\infty) x^n e^(-x) \text{d}x $ devi dimostrare che $I_n = n! $
Per $n = 0 $ si ottiene $I_0 $ che è l'integrale che ti ha già scritto Mephlip che si calcola elementarmente: devi far vedere che $I_0 = 0!$

[Elagabalus04]

Sì ho sbagliato a scrivere, mi scuso ma non avevo capito come calcolare l'integrale in n+1

[pilloeffe]

Prova a calcolare $I_{n + 1}$ per parti.

[Elagabalus04]

Ok grazie

[pilloeffe]

Prego.

Visto che ormai dovresti aver capito come si fa, completiamo l'esercizio. Si vede subito che $I_0 = 0! = 1$
Ora, supponendo per ipotesi che sia $I_n = n! $, vogliamo dimostrare che $I_{n + 1} = (n + 1)! $
Infatti integrando per parti si ha:

\( \displaystyle \begin{align*} I_{n + 1} & = \int_0^{+\infty} x^{n + 1} e^{- x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} \bigg[ -x^{n + 1} e^{-x} \bigg]_0^M + (n + 1) \int_0^{+\infty} x^n e^{-x} \text{d}x =\\
& = \lim_{M \to +\infty} [- M^{n + 1} e^{-M}] + (n + 1) I_n = (n + 1)I_n = (n + 1)n! =\\
& = (n + 1)!
\end{align*} \)

come volevasi dimostrare. \( \displaystyle \Box \)

[Elagabalus04]

Non trovavo più la mail di risposta ma alla fine mi è venuto allo steso modo. Grazie mille a tutti!
PS: bella la foto profilo del primo user che mi ha risposto