Sviluppi di Taylor e valore di convergenza serie

[mau21]

Ciao a tutti! Non capisco come risolvere il seguente esercizio, potreste aiutarmi? Grazie mille!
TESTO:
Utilizzando opportunamente lo sviluppo in serie di $log(1+X)$ calcolare la somma della serie $\sum_{n=1}^N 1/(n*2^n)$

P.S. Chiaramente con N intendo "+infinito", scusatemi ma non ho capito come fare a scriverlo.

[Mephlip]

Ciao mau21, benvenut* sul forum!

Il simbolo di $\infty$ si scrive nel codice come segue:

Codice:

\infty

Per quanto riguarda l'esercizio, osserva che:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n2^n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)^n}{n}$$
Cerca di concludere da solo. Dato che sei nuov*, qui puoi leggere il regolamento del forum e qui puoi leggere un tutorial per scrivere le formule. Grazie, e buona permanenza!

[mau21]

Ciao Mephlip, grazie per la celere risposta, purtroppo ho capito che cosa hai fatto ma non riesco a giungere ad alcuna conclusione.
In verità questo tipo di esercizio non l'avevo mai visto (delle serie ho fatto a lezione unicamente i criteri di convergenza e il calcolo della somma nel caso di serie geometrica o telescopica), semplicemente l'ho trovato sul libro e, per curiosità, ho provato a guardarlo.
Ho capito che, tramite i passaggi algebrici che mi hai illustrato, è possibile mostrare che la serie esprime lo sviluppo di MacLaurin della funzione, ma non capisco in che modo questo ci permetta di calcolarne la somma; gli sviluppi di Taylor sono un'approssimazione (per quanto precisa) di una funzione in un punto, quindi non capisco in che modo possano permettere il calcolo dell'esatto valore di convergenza di una serie.
Perdona la mia scarsa intuizione.

[Mephlip]

Prego! Hai detto bene che gli sviluppi sono un'approssimazione, ma qui si sta parlando di serie di Taylor e non di polinomio di Taylor di grado \(n\); le serie di Taylor coincidono con le funzioni nei loro intervalli di convergenza (almeno, per quanto riguarda le funzioni elementari; ci sono opportune condizioni che permettono di stabilire quando la serie di Taylor coincide con la funzione, ma questo è parte dello studio delle serie di funzioni che vedrai in seguito nei tuoi studi).

Quindi, "dando per buono" che per ogni \(x \in (-1,1]\) vale proprio l'uguaglianza:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}=\log(1+x) \]
riesci a concludere ora?

[mau21]

Forse sì:
ponendo $-1/2=x$ la serie converge a $log(1-1/2)=log(2^(-1))=-log(2)$
ho ragione?
L'unica domanda: dalle tabelle risulta il termine generico dello sviluppo di MacLaurin ha $(-1)^(n-1)$ mentre tu hai scritto $(-1)^(n+1)$, è un refuso o c'è ancora qualcosa che non ho capito?
Grazie ancora, comunque!

[pilloeffe]

Ciao mau21,

ho ragione?

No, $log(2) $...

$ (−1)^{n - 1}$ mentre tu hai scritto $(−1)^{n + 1}$

$(−1)^{n - 1} = (- 1)^{n - 1} \cdot 1 = (- 1)^{n - 1} \cdot (- 1)^2 = (−1)^{n + 1}$

[Mephlip]

Chiaramente ha ragione pillo: potevi accorgerti del tuo errore perché \( -\log 2 < 0 \) e, dato che gli addendi della serie sono tutti positivi, la somma della serie è necessariamente positiva. Non ti ho fatto tutti i passaggi perché non volevo svolgerti completamente l'esercizio, dovevi moltiplicare e dividere per \( -1 \) in modo da ricondurti alla serie .

[mau21]

Avete ragione, grazie di tutto!