Integrazione di radice

[mau21]

Buonasera,
mi potreste aiutare a risolvere il seguente integrale?
$\intsqrt(1+X^2)dx$
Ho provato mediante la sostituzione $sqrt(1+X^2)=X+T$ e, elevando al quadrato, funziona, mi chiedevo però se c'è un metodo più rapido per risolverlo; ho letto che si può usare il seno iperbolico ma non riesco a risolverlo in questo modo; mi aiutereste?
Grazie mille!

[pilloeffe]

Ciao mau21,

Prova a porre $x := sinh(t) $

[mau21]

Ciao pilloeffe!
Grazie, in effetti avevo provato a fare questa sostituzione però, se non mi sbaglio, in questo modo alla fine risulta
$\intcosh(t)^2dx$
Ed è questo che francamente non capisco come svolgere...

[pilloeffe]

Beh, $cosh^2(t) = (1 + \cosh(2t))/2 $

[gugo82]

Scusa, ma $cosh^2 t$ è una somma di esponenziali (perché?)... Si integra proprio facile facile.

[mau21]

Grazie a entrambi!
$\intcosh(t)dt=sinh(t)+c$
Giusto?

[pilloeffe]

Giusto?

No...
Si ha:

$\int \sqrt{1+x^2}\text{d}x = \int \sqrt{1+\sinh^2(t)}\cosh(t) \text{d}t = \int \cosh^2(t) \text{d}t = $

$ = \frac{1}{2}\int [1 + \cosh(2t)] \text{d}t = \frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sinh(2t) + c = $

$= \frac{1}{2}\text{arcsinh}(x) + \frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+c = $

$ = \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{1+x^2})+\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+ c $

Comunque l'integrale proposto è già stato ampiamente discusso in questo thread.

[mau21]

Va bene, grazie di tutto!