Velocità parametrizzazione

[gandolfo_m]

Ciao a tutti, provo a porre qui la domanda traslandola da geometria ove ho visto che non ha avuto molto seguito . In realtà la sto affrontando in analisi quindi è un discorso un po' borderline. Vediamo...

Volevo potervi chiedere un secondo aiuto su un concetto legato a curve e velocità di percorrenza della curva, mi spiego:

Consideriamo $gamma_1(t) = (cos t; sin t), t in [0; 2pi]$ e definiamo $p : [0; pi] -> [0; 2pi]$,
$p(r) = 2r$, con tale riparametrizzazione ho che $gamma_2(r) = (gamma_1 ◦ p)(r)$, cioè posso scrivere: $gamma_2(r) = (cos(2r); sin(2r))$, $r in [0; pi]$ aka $gamma_2(t) = (cos(2t); sin(2t))$, $t in [0; pi]$


La mia domanda è però, quando io riparametrizzo ho che $gamma_2(r) = (cos(2r); sin(2r))$, ma in questa curva gamma2 ho velocità doppia rispetto a gamma 1 giusto? In definitiva quella riparametrizzata la percorro più velocemente? Quindi le riparametrizzaizoni non preservano le velocità?

Lo chiedo perché intuitivamente direi di si ma avendo dominio ridotto a [0,pi] mi sorge il dubbio che invece abbia stessa velocità di percorrenza.

[Mephlip]

Puoi vederla in vari modi. O ricordare che la velocità è \( \| \gamma'(t) \| \) oppure pensarla così: cosa rappresenta \(t\)? Come si interpreta il significato di \(t\) quando esso cambia il suo intervallo di variazione, passando dall'intervallo \( [0,2\pi] \) all'intervallo \( [0,\pi] \)? E come si traduce questo cambiamento in termini fisici?

[gandolfo_m]

Ciao Mephlip e grazie per la risposta così celere. Devo dire che quelle sono proprio le domande cui mi sono posto però cercavo una risposta corretta ad esse.

Mi spiego: il mio dubbio nasce perché nella seconda scrittura (chiamiamola "riparametrizzata") mi accorgo che formalmente esce una velocità doppia di fatto. Però intuitivamente mi aspettavo che una riparametrizzazione non facesse variare la velocità¹, intesa come velocità spazio nel tempo, quindi qualcosa che è fisso perché quella è, ma invece mi pare essere con questi concetti dipendente dalla parametrizzazione la velocità (e mi stupisce). Poi, certo, riduco il dominio $[0,2 pi]$ in $[0,pi]$ e questo mi sembra intuitivamente furbo proprio per far si che negli estremi del dominio la riparametrizzaizone mi ridia i medesimi punti (sia per la curva con parametrizzazione originale che per quella riparametrizzata), però questo non mette a posto le cose sulla velocità: la velocità nella seconda scrittura mi sembra sempre "doppia". ma è corretto? O ho travistato qualcosa? questo mi chiedo.

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Note

1. come concetto di riparametrizzazione lo vedevo come scrittura di una stessa cosa con parametri diversi, e quindi che non cambiasse le cose, da qui mi ero stupito ↑

[Mephlip]

Ok, ma perché intuitivamente pensi che riscrivere la stessa cosa con parametri diversi lasci invariate alcune proprietà? Cioè, capisco l'analogia "riscrivere la stessa cosa con parametri diversi" (e infatti si dimostra che, sotto opportune ipotesi, la lunghezza di una curva è invariante per riparametrizzazioni) ma è estremamente impreciso come linguaggio (giustamente, stai ragionando intuitivamente) e in quanto tale l'errore è dietro l'angolo. Voglio dire, alla fine formalizziamo proprio perché la nostra intuizione è continuamente fallace .

Una riparametrizzazione è, in soldoni, una composizione di funzioni. Quindi, quando l'immagine della composizione coincide con l'immagine della funzione della partenza (ossia, la curva originale e la curva riparametrizzata hanno lo stesso sostegno; si usa dire che sono curve equivalenti), in generale ci saranno corrispondenze diverse tra i punti del dominio della composizione e tra i punti del dominio della curva originale perché riparametrizzando cambi la corrispondenza. Pensala anche in termini di grafici di funzioni: considera $f(t)=t$ nell'intervallo $[0,1]$ ed $f(t)=2t$ nell'intervallo \([0,1/2]\). Entrambe, per continuità, hanno come immagine il segmento di estremi $(0,0)$ e \( (1,1) \) che, per crescente monotonia, lo percorrono entrambe in maniera orientata da \( (0,0) \) a \( (1,1) \). Quindi, entrambe possono vedersi come rappresentazioni di un punto materiale che percorre lo spazio corrispondente al suddetto segmento con una certa velocità. Tuttavia, nel primo caso all'istante \( t=1/4 \) sei nel punto \( (1/4, 1/4) \) mentre nel secondo caso, allo stesso istante, sei nel punto \( (1/4, 1/2) \). Quindi, come vedi, la velocità dipende dalla parametrizzazione perché hai percorso nello stesso lasso di tempo spazi diversi ma, nei due lassi di tempo totali (ossia, gli intervalli corrispondenti in cui varia \(t\)), percorri lo stesso spazio (ossia, il segmento).

[gandolfo_m]

Ok, la tua spiegazione mi sembra molto chiara e spiega che in effetti la mia idea intuitiva aveva torto.

Per rispondere alla tua domanda, non so bene perché "istintivamente" mi sarebbe piaciuto pesnare che la velocità non cambiasse per riparametrizzazione. Probabilmente perché vedevo la velocità come uno spazio in un tempo e quindi una proprietà "fisica" intrinseca dell'oggetto, e mi sarebbe sembrato più comodo avere uno strumento (la riparametrizzazione) che usando un parametro diverso mantenesse una stessa "velocità" sul parametro originale.

Il dubbio in realtà aveva preso forma da questa (che avevo postato in geometria ma senza grandi spunti) e ricopio:

volevo chiedervi un aiuto sulla parametrizzazione per lunghezza d'arco, formalmente l'ho capita però c'è una frase del prof che mi lascia in dubbio di non aver afferrato del tutto il concetto. Egli dice che tale parametrizzazione vuol dire che tra tutti i moti possibili lungo una traiettoria siamo interessati a quelli con velocità 1 (costante). Però il mio dubbio è il seguente: la velocità implica uno spazio nel tempo quindi parametrizzazione temporale, qui parametrizzo con uno spazio (nel senso che uso come parametro la lunghezza stessa in un certo senso) quindi perché velocità?
A me sembra solo che la derivata sia 1 e questo va bene, ma non mi pare propriamente una velocità, il che mi confonde. Oppure devo proprio immaginarlo come spostamento con velocità costante? sono confuso sull'intuizione.

Chiamiamo solo per comodità s il parametro per paramentrizzare per lunghezza d'arco. Detto ciò quello che volevo dire io è che quando parlo di velocità per paramentro di lunghezza d'arco io ho ∥γ'(s)∥=1 che mi sembra diversa dal concetto di velocità intesa come spazio nel tempo che sarebbe ∥γ'(t)∥.

Cambiando il parametro "temporale" t in quello di lunghezza d'arco s, la velocità propriamente detta non è unitaria, è unitaria la "velocità" intesa come derivazione della curva nei confronti di s (ma non di t).
Quindi non capisco in che senso la velocità è unitaria, perché non è detto che ∥γ'(t)∥ che è la vera velocità (perdonami l'espressione ma per capici) sia unitaria

Insomma mi sembra proprio che tutto il discorso fatto risponda al quesito del quote, in sostanza la velocità è unitaria perché scelgo un parametro speciale s per cui ho velocità (rispetto a quel parametro) costante.

Quindi in definitiva mi stonava questo fatto, che la velocità intesa in modo fisico mi sembrava dover essere una proprietà del corpo e quindi indipendente da quale "parametro" sfrutto per rappresentarla. Non so se sono stato più chiaro nel caso ci riprovo