Studio derivata seconda di $ f(x) = \log (x + 1) + \frac{1}{x-1} $

[ncant]

Salve a tutti!
Sto svolgendo lo studio della funzione $ f(x) = \log (x + 1) + \frac{1}{x-1} $ ed ho appena concluso lo studio della derivata prima. Come al solito, partendo dalla derivata prima di $ f $:
\[
f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2-x-1}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x + 1 - x- 1}{(x+1)(x-1)^2} = \frac{x^2-3x}{(x+1)(x-1)^2}
\]
calcolo la derivata seconda, per poi studiarne la positività. Ma (dopo mille peripezie):
\[
f''(x) = - \frac{x^3 - 5x^2 - x - 3}{x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1}
\]
...il che non è molto facile da analizzare a prima vista.
C'è per caso un altro approccio al problema?

Grazie

[pilloeffe]

Ciao ncant,

In effetti anche a me risulta $f''(x) = -(x^3 - 5x^2 - x - 3)/((x - 1)^3 (x + 1)^2) $

A meno che tu non sia obbligato a farlo, sconsiglierei lo studio del segno di tale derivata seconda, ma se insisti...
https://www.wolframalpha.com/input?i=-%28x%5E3+-+5x%5E2+-+x+-+3%29%2F%28%28x+-+1%29%5E3+%28x+%2B+1%29%5E2%29+%3E%3D+0

[ncant]

Grazie mille, pillo!

Ora, se mi vuoi scusare, devo riprendermi dall'infarto

[pilloeffe]

Ora, se mi vuoi scusare, devo riprendermi dall'infarto

Eh, cosa vuoi che sia...
Considerando che i quadrati a denominatore sono sempre positivi, nel dominio della funzione e della derivata ci si può ricondurre a studiare "semplicemente"

$ (x^3 - 5x^2 - x - 3)/(x - 1) \le 0 $

Quindi la derivata seconda sarà positiva nell'intervallo $(1, \alpha] $, dove $\alpha $ è la soluzione dell'equazione di terzo grado $x^3 - 5x^2 - x - 3 = 0 $ che si può risolvere con la formula di Girolamo Cardano e si trova l'unica soluzione reale

$\alpha = 1/3 (5 + \root[3]{188 - 12\sqrt93} + 2^{2/3} \root[3]{47 + 3\sqrt93})$

Le altre due soluzioni dell'equazione di terzo grado sono complesse coniugate, quindi non interessano.

[ncant]

$\alpha = 1/3 (5 + \root[3]{188 - 12\sqrt93} + 2^{2/3} \root[3]{47 + 3\sqrt93})$

Considerando che questo studio è preso da un testo d'esame (precisamente, è parte della seconda parte del compito che devi svolgere in un'ora), non penso che questi calcoli siano proprio facili

Comunque si apprezza sempre e si prende spunto. Grazie.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Video su come dei tizi nel 1500 hanno trovato una formula generale per le equazioni di terzo grado.


https://www.youtube.com/watch?v=cUzklzVXJwo

[pilloeffe]

Considerando che questo studio è preso da un testo d'esame (precisamente, è parte della seconda parte del compito che devi svolgere in un'ora), non penso che questi calcoli siano proprio facili

Certamente, era solo per farti vedere che è fattibile, ma rimane valido quanto

A meno che tu non sia obbligato a farlo, sconsiglierei lo studio del segno di tale derivata seconda