ordine di infinitesimo

[koreJade]

$ cos(x^2)-e^(x^3) +(1/2)*(arctan(x))*(ln(1+x^2))-3e^(-1/x) $

Ciao a tutti,
non riesco a risolvere questo esercizio. Ho controllato in giro per internet e ho trovato vari metodi per trovare l'ordine di infinitesimo di una funzione; in pratica sto risolvendo gli esercizi con metodi diversi, perché non sempre uno funziona per tutti... però per questo esercizio non so come fare. Ho provato con il metodo delle derivate, ma non mi porta... non so se è per il fatto che fare più derivate di questa funzione mi porta a commettere errori o se c'è un metodo più efficace e magari più rapido.
qualcuno sa darmi una mano? Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao koreJade,

Prova a sommare e a sottrarre $1$:

$f(x) = cos(x^2)-e^(x^3) + 1/2 arctan(x) \cdot ln(1+x^2) -3e^(-1/x) = $
$ = cos(x^2) - 1 - (e^(x^3) - 1) + 1/2 arctan(x) \cdot ln(1+x^2) - 3e^(-1/x) = $

$ = - [1 - cos(x^2)] - (e^(x^3) - 1) + 1/2 arctan(x) \cdot ln(1+x^2) - 3 e^(-1/x) $

Usa i limiti notevoli seguenti:

$\lim_{t \to 0} (1 - cos(t))/t^2 = 1/2 \implies $ \( \displaystyle 1 - \cos(x^2) \sim \frac{x^4}{2} \)

$ \lim_{t \to 0} (e^t - 1)/t = 1 \implies $ \( \displaystyle (e^{x^3} - 1) \sim x^3 \)

$ \lim_{x \to 0} (arctan(x))/x = 1 \implies $ \( \displaystyle \arctan(x) \sim x \)

$ \lim_{t \to 0} (ln(1 + t))/t = 1 \implies $ \( \displaystyle \ln(1 + x^2) \sim x^2 \)

[koreJade]

grazie per la risposta; scusami però , non capisco questo procedimento... il mio obiettivo con cio è sostituire le funzioni piu complicate con altre piu semplici ma affini, di cui vediamo a colpo d'occhio l'ordine di infinitesimo. giusto? ma una volta fatto ciò come procedo?

[pilloeffe]

il mio obiettivo con cio è sostituire le funzioni piu complicate con altre piu semplici ma affini, di cui vediamo a colpo d'occhio l'ordine di infinitesimo. giusto?

Giusto.
Dopo aver fatto questa operazione, che cosa noti se devi fare in modo che sia $\lim_{x \to 0^+} (f(x))/x^{\alpha} = L \ne 0 $ ?
Hai il risultato dell'esercizio?