Mi trovo davanti al quesito seguente:
"Sia $ y(x) $ la soluzione del problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y' = 3e^x - y^2 \\
y(0) = 1
\end{cases}
\]
Allora il grafico di $ y(x) $ vicino all'origine ha tangente positiva o negativa? Concavità rivolta verso l'alto o verso il basso?
\[
\begin{cases}
y' = 3e^x - y^2 \\
y(0) = 1
\end{cases}
\]
Allora il grafico di $ y(x) $ vicino all'origine ha tangente positiva o negativa? Concavità rivolta verso l'alto o verso il basso?
Sapendo già che $ y(0) = 1 $, ottengo:
\[
y'(0) = 3e^0 - (1)^2 = 2 > 0
\]
Derivando poi $ y'(x) $ ottengo:
\[
y'' = 3e^x - 2yy'
\]
da cui, sostituendo con i valori trovati fin'ora, ottengo:
\[
y''(0) = 3e^0 - 2(1) \cdot 2 = -1 < 0
\]
Da cui deduco che la soluzione, vicino al punto $ x = 0 $, ha retta tangente positiva e concavità rivolta verso il basso.
Avrei bisogno di un controllo della mia soluzione, e nel caso di delucidazioni in merito.
Come al solito, grazie.
