Studio di funzione

[Ale1500]

Buonasera, sto studiando per l'esame di analisi 1 e sto riscontrando qualche difficoltà nello studio di funzione in presenza di logaritmi e moduli.

Chiederei se possibile lo svolgimento dello studio della funzione seguente:

$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $

Lo studio comprende: dominio, zeri, segno, limiti/asintoti, derivata

Vi ringrazio in anticipo, spero di poter capire come gestire questo tipo di funzioni

[Mephlip]

Moderatore: Mephlip

Ciao Ale1500, bencenut* sul forum!

Ti chiedo cortesemente di leggere il regolamento, che trovi qui. Chiediamo un tentativo di svolgimento per la risoluzione dei problemi: lo spirito del forum è quello di aiutare a crescere, non di svolgere i compiti degli altri (che fa sviluppare molto meno le capacità dell'interlocutore). Sempre da regolamento, è vietato portare immagini: infatti, dopo un po' di tempo esse vengono rimosse dai servizi di hosting e ciò rende illegibile il post. Puoi trovare qui un tutorial per le formule: usando il pulsante "Modifica" presente in alto a destra sul tuo messaggio, puoi modificarlo e sostituire le foto con le formule. Non temere di sbagliare, puoi modificare il messaggio quante volte vuoi e puoi usare il pulsante "Anteprima" presente in basso al centro della pagina. Grazie, e buona permanenza!

[pilloeffe]

Ciao Ale1500,

Considerato che è il tuo primo messaggio sul forum, per questa volta ti aiuto io a modificare l'OP eliminando la foto e scrivendo al posto di essa la formula corretta. Questo naturalmente non ti esime dal leggere la guida su come scrivere le formule come ti ha scritto Mephlip per i tuoi prossimi quesiti...

$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $

Codice:

$ f(x) = log(x^2 + x + 1) - |x| $


Giusto un paio di osservazioni per indirizzarti. Innanzitutto si nota che il dominio naturale della funzione proposta è $D = \RR $ e che nell'argomento del logaritmo (che si suppone sia quello naturale, cioè $log = log_e = ln $) non compare il modulo perché è sempre positivo $\forall x \in \RR $, infatti si può scrivere $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + (\sqrt3/2)^2 $
Il modulo presente nella funzione suggerisce la presenza di un punto angoloso in $x = 0$ e si vede subito che $f(0) = 0 $ (ma non è l'unico punto di intersezione della funzione con l'asse $x$). Per lo studio del segno della funzione e della derivata prima ti consiglierei di considerare separatamente i casi $x > 0 $ e $x < 0 $ in modo da poter eliminare il modulo tenendo conto della sua definizione.

[Ale1500]

Ti ringrazio molto per l'aiuto nonostante non avessi scritto il tutto nel modo coretto ... sicuramente ora mi informo meglio sul regolamento e provo anche a svolgere l'esercizio con i consigli che mi hai dato.

Se avrò problemi, vi ricontatterò, magari mandando anche una prova di svolgimento, grazie ancora

[pilloeffe]

Ti ringrazio molto per l'aiuto nonostante non avessi scritto il tutto nel modo corretto ...

Prego, però il post iniziale ancora non l'hai modificato e la foto c'è ancora: dai su, un piccolo sforzo...

[ncant]

Pssst... io farei così all'inizio. Notando la presenza di un valore assoluto ( $ | x | $ ) all'interno di $ f(x) $, scriverei quest'ultima come una funzione definita a tratti:

\[
f(x) :=
\begin{cases}
\log \left( x^2 + x + 1 \right) - x & \text{per } x \geq 0 \\
\log \left( x^2 + x + 1 \right) + x & \text{per } x < 0
\end{cases}
\]
che tornerà utile per studi successivi.

Poi cercherei l'insieme di definizione di $ f $. Ora, l'unico problema che potrebbe esserci all'interno di $ f $ è $ \log \left( x^2 + x + 1 \right) $. Dobbiamo vedere se qui vengono rispettate le condizioni di esistenza del logaritmo. Ponendo:
\[
x^2 + x + 1> 0
\]
che, come indicato da @pilloeffe, è sempre vera $ \forall x \in \mathbb{R} $. Dunque, il dominio naturale $ \mathcal{D} $¹ di $ f $ risulta essere:
\[
\mathcal{D} \equiv \mathbb{R}.
\]
Ora, cosa puoi dire sulla continuità di $ f $?

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Note

1. Non riesco a capire perché \mathcal{D} viene mostrato a schermo diversamente... Fa finta che sia uguale alla D che ho scritto sotto ↑