Domanda su calcolo derivata piuttosto sciocca

[pistacios]

Ciao,

volevo provare a riproporre un dubbio che è rimasto inevaso in un'altra discussione, un po' perché si era sviluppato come costola di un altro argomento a matrioska e quindi nessuno è più passato ( https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=234629 ) a provare a rispondermi però siccome sono tanto curioso di capire se mi sono risposto in modo corretto riprovo qua.

Vorrei partire da questo ragionamento

Vogliamo mostrare che, posto $rho=sqrt(x^2 + y^2 + z^2) = |vec(r)|$, risulta $(partial)/(\partial x) [1/rho] = - x/rho^3$ .
Posto:

$g(rho) := 1/rho$,

per derivazione della funzione composta abbiamo:

$(partial)/(\partial x) [g(rho)] = ("d" g)/("d"rho) * (partial rho)/(\partial x) = -1/rho^2 * (2x)/(2rho) = - x/rho^3$.

In generale, vale:

$nabla g(rho) = ("d" g)/("d" rho) * nabla rho = (g^'(rho))/rho * vec(r)$

con $nabla = nabla_(vec(r)) = ((partial )/(partial x), (partial )/(partial y), (partial )/(partial z))$ gradiente fatto rispetto alle tre coordinate "spaziali".

Alcuni testi dicono che si può calcolare quel gradiente sfruttando la derivazione composta: $d/(dx)|g(x)|=(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ (questo perché la funzione di x,y,z viene derivata solo rispetto a x -interessa il gradiente in una sola direzione- e quindi è una |g(x)|), ma di fatto io non ci vedevo valori assoluti.

Ecco qui sorgeva il mio dubbio:
Ponendo $rho$ come fatto nel quote mi è chiaro che $rho=|vecr|$ modulo in senso vettoriale.
Quello che mi manda in pappa è che $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ è la derivazione di una funzione composta, ma composta con un modulo in senso "numeri reali" (aka valore assoluto, dato che siamo in funzione di una variabile). Ed è qui che mi incasino perché la derivata di un valore assoluto è un conto e sappiamo bene essere $(g(x))/(|g(x)|)=(|g(x)|)/(g(x))$ che dir si voglia, mentre la derivazione che svolgo su rho rispetto ad x è una semplice derivazione di "radice" (rho a conti fatti è una radice, ossia il modulo di un vettore!).

Insomma, non riesco a vedere perché $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$ funzioni.

In tutto ciò ragionandoci mi sono risposto così:

La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$ (il ragionamento è simile con x^2+y^2 ma tanto sono costanti e non faccio danno a toglierle sul ragionamento che segue). E in effetti dietro quella radice in tal modo si maschera la derivata della funzione composta "modulo" che tanto mi turbava:

$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte.

Potrebbe andare bene come risposta ai miei dubbi?

[gugo82]

Non hai bisogno di "vedere" perché funziona... Fai i conti.
Prendi una funzione vettoriale "buona"¹ $mathbf{g}(x)$ e deriva $|mathbf{g}(x)|$: che trovi?

---

Note

1. Il che, nel caso in esame, significa definita in un intervallo in cui non si annulla mai. ↑

[pistacios]

Risponderei che trovo: $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$. no?

Però il mio dubbio forse l'ho espresso male ma risiedeva nel fatto che nel quote tu stavi calcolando $rho=sqrt(x^2)$ (tralascio x e y perché tanto sono costanti e il succo della domanda è lo stesso) e derivavi rho in x, ma rho è una radice (la radice discende dal modulo di un vettore che è una radice con la somma dei quadrati delle componenti e di fatto non c'è alcun valore assoluto in senso di $RR$).

Quando invece derivo $|g(x)|$ io ho un modulo nel senso di "valore assoluto" (concetto di fatto diverso dal modulo di un vettore). E quindi non capivo il legame tra derivare il modulo in $RR$ e derivare il modulo di un vettore, mi sembravano concetti separati.
Tuttavia in un certo senso non lo sono, perché quando mi portavo da una situazione in 3 variabili ad una situazione in una variabile (cioè solo in x) e derivavo quello che era il modulo di un vettore tridimensionale in una sola variabile mi riducevo a questo caso:

La mia idea si basa sul fatto che $sqrt(x^2)=|x|$ (il ragionamento è simile con x^2+y^2 ma tanto sono costanti e non faccio danno a toglierle sul ragionamento che segue). In sostanza quello che discende dal modulo del vettore (ossia la radice $sqrt(x^2)$) quando derivo solo in x mi porta a derivare un valore assoluto tipo $|x|$.

E infatti:
$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$, in effetti quella radice che è il "modulo di un vettore" poi si trasforma per il caso di "una variabile" in un x^2 sotto radice che è un "modulo nel senso di valore assoluto in R" (la cosa che mi turbava). Quindi è vero, alla fine basta fare una derivata composta di quello che è un valore assoluto per queste ragioni esposte.

Secondo te sbaglio?

[gugo82]

Risponderei che trovo: $(g(x))/(|g(x)|)(dg)/(dx)$. no?

Il condizionale non serve.

Fai i conti esplicitamente.

[pistacios]

Dicevo così perché mi sembrava quello che stavo scrivendo, ma forse sbaglio qualcosa.

proviamo esplicitamente così puoi correggermi:

$f(x,y,z)=(x,x,x)=vecg (x)$ nessuno me lo vieta è un campo vettoriale e mi sta comodo.

quindi $|vecg (x)|=sqrt3*sqrt(x^2)$ per definizione

che è esattamente il mio caso in quote, infatti:

$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$

ergo la derivata di $f(x,y,z)=(x,x,x)=vec g(x)$ è $sqrt3x/|x|$

Per quello mi davo la risposta di cui sopra. Mi sembrava rispondere alla tua domanda, ma sicuramente sbaglio ma non ho capito dove e il rimprovero

Ti ringrazio molto per darmi il tuo aiuto però

[gugo82]

Già il fatto che tu usi uno scalare ed un vettore intercambiabilmente la dicono lunga sulla confusione che hai.

Poi, perché fare i conti in un caso particolare?
Se la tua formula ha carattere generale, il caso particolare non serve a validarla, ma solo a falsificarla. Questo è un concetto di base che dovresti avere dal primo anno di superiori.

Insomma, devi sgombrare il campo: l'euristica è certamente importante, i casi particolari anche; ma fare il conto in maniera seria ed ordinata (per ottenere una dimostrazione o una formula effettivamente valida) a volte lo è di più.

In particolare, se¹ $mathbf{g}(x) = (g_1(x), g_2(x), g_3(x))$ allora:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} x} |\mathbf{g}(x)| &= \frac{\text{d}}{\text{d} x} \sqrt{g_1^2(x) + g_2^2(x) + g_3^2(x)}\\
&= \frac{1}{2 \sqrt{g_1^2(x) + g_2^2(x) + g_3^2(x)}} \cdot \Big( 2g_1(x) g_1^\prime (x) + 2g_2(x) g_2^\prime (x) + 2 g_3(x) g_3^\prime (x)\Big) \\
&= \frac{g_1(x) g_1^\prime (x) + g_2(x) g_2^\prime (x) + g_3(x) g_3^\prime (x)}{\sqrt{g_1^2(x) + g_2^2(x) + g_3^2(x)}}\; ;
\end{split}
\]

osservando la quantità a numeratore, ci si accorge che essa è un prodotto scalare tra il vettore $mathbf(g)(x)$ ed il vettore derivato $mathbf(g)^'(x) = (g_1^'(x), g_2^'(x), g_3^'(x))$, quindi si può scrivere:

$"d"/("d"x) |mathbf(g)(x)| = (mathbf(g)(x))/(|mathbf(g)(x)|) * mathbf(g)^'(x)$

in cui si capisce (finalmente) che il prodotto al secondo membro è un prodotto scalare tra due vettori (cioè tra il vettore derivato da $mathbf(g)$ ed il versore di $mathbf(g)$).

---

Note

1. Qui mi limito al caso di funzioni vettoriali di tre componenti di un'unica variabile reale; in casi più complessi (cioè, funzioni vettoriali $mathbf(g): RR^M -> RR^N$ di $N$ componenti dipendenti da $M$ variabili reali) il discorso è analogo, ma cambiano i simboli. ↑

[pistacios]

Purtroppo vedo che mi hai già corretto ma mi ero accorto che dovevo generalizzare assumendo $vecg(x)=(g1(x),g2(x),g3(x))$ perché il mio caso era solo un sottocaso e mi ero loggato per farlo.

C'è però una cosa che non ho capito, ossia quando dici:

Già il fatto che tu usi uno scalare ed un vettore intercambiabilmente la dicono lunga sulla confusione che hai.

Non credo mi sia chiaro dove sto usandolo intercambiabilmente. Ti posso gentilmente chiedere specificatamente dove?

Per il resto tutto sacrosanto e mi è chiaro

[gugo82]

C'è però una cosa che non ho capito, ossia quando dici:

Già il fatto che tu usi uno scalare ed un vettore intercambiabilmente la dicono lunga sulla confusione che hai.

Non credo mi sia chiaro dove sto usandolo intercambiabilmente. Ti posso gentilmente chiedere specificatamente dove?

Qui:

$f(x,y,z)=(x,x,x)=vec g(x)$ è $sqrt3x/|x|$

nell'uguaglianza:

$f(x,y,z)=(x,x,x)=vec g(x)$

$x$ è uno scalare, mentre in:

$sqrt3x/|x|$

$x$ è un vettore (visto il significato della formula che vuoi dimostrare e l'uso del modulo).

[pistacios]

Eh perché sono un povero scemo devi scusarmi tanto, ho fatto copia-incolla avendo in mente quello che intendevo ed ero convinto di aver cliccato giusto senza andare poi a rileggerlo. O meglio, rileggendo mi filava perché ero convinto di aver copiato giusto.

La mia idea era la seguente:

quindi $|vecg (x)|=sqrt3*sqrt(x^2)$ per definizione

che è esattamente il mio caso in quote, infatti:

$(d(sqrt(x^2)))/(dx)=1/2*(x^2)^(-1/2)*2x=x/sqrt(x^2)=x/|x|$

ergo la derivata di $|vecg (x)|$ è $sqrt3x/|x|$

così dovrebbe funzionare... perché in questo semplice caso diviene tutto un bello scalare comodo comodo.

con gli scalari al posto giusto. Fermo restando che questo è solo un sotto-caso baby di quello generale che mostravi tu.

[gugo82]

Vabbé... Ad ogni modo, la morale è una sola: quando vuoi sapere perché vale una formula, dimostrala.