Domanda di teoria sul epsilon delta di "controllo"

[gandolfo_m]

Ho cancellato la mia risposta perché avevo fatto pasticci, ho riveduto e corretto tutto
Dò per assodato che chiamo

1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

2) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $

Stai confondendo cosa significa dimostrare che vale la definizione di limite con cosa significa invece che essa è vera per ipotesi.

Ok, mettiamola così: il punto 1) del mio precedente messaggio è la lettura della proposizione 1) e una "dimostrazione" per via geometrica della definizione di limite. E fin qui mi è chiaro.

l'antecedente è tutta la definizione di limite che si assume vera per ipotesi
[...]
non devi seguire quel tipo di struttura logica su ε ma devi seguirla solo su ε′ perché è solo quest'ultimo quello che hai prefissato prima e per il quale vuoi trovare in in corrispondenza un δ′. Poi, dall'ipotesi sai che puoi usare la definizione di limite con kε per ogni ε>0; quindi, relativamente a tale definizione, non devi prefissare nulla e trovare nulla in corrispondenza. Tu ora sai che la definizione con kε è vera, quindi sai che hai libertà su quel quantificatore universale e da ciò dedurre (stavolta prefissando ε′>0 che vale la definizione con ε′: se torni su alla mia prima risposta, vedi che faccio esattamente questo.

Questo è un altro discorso, certamente sì.
In questo discorso prendi per HP vera la definizione di limite e mostri che vale la mia proposizione 2) del precedente ultimo mio post (cioè la proposizione con $epsilon k$). E anche qui mi pare ok.
Di fatto posso completare questa dimostrazione anche con la <= e ottengo un <=>: benissimo!

La differenza con dimostrazione di definizione di limite e questo procedimento in realtà mi è chiara.

Tuttavia, forse sbaglio, però mi pare che il mio dubbio risieda altrove
Io volevo solo leggere geometricamente le due proposizioni: la 1) e la 2) (non quella del tuo box), in modo separato come ho fatto nel mio ultimo messaggio. Però facendo così, guardando la 2) con il relativo disegno mi sembra che ciò che rende vera la 2) poi non rende più vera la 1) [impasse!].
Ed è qui che mi incastro, perché dato che ho dimostrato che 2) <=> 1) con la dimostrazione che mi è chiara non riesco poi a capire perché mi trovo in questo impasse. Provo a spiegare meglio cosa intendo:

Se il grafico che rispetta la 1) andando a leggerla in quel modo da me fatto nell'ultimo messaggio (come qui in nota)¹ (cioè nel modo in quella che tu chiami "dimostrazione della definizione di limite"), la 2) che strutturalmente è identica-identica non dovrei leggerla nello stesso modo? Cioè non capisco perché la mia lettura 2) sia errata!

per intenderci:

2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ della proposizione, essa cosa dice? ci dice che se trovo f(x) anche oltre l'epsilon iniziale mi va comunque bene e rispetta l'implicazione a patto che sia "non oltre" $k epsilon$ in valori. (sono in una situazione del genere:)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione

E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla

questo mi sembra spiccicato al procedimento con cui leggo la proposizione 1), e non vedo perché sfruttando la lettura come faccio in 1) sulla 2) poi non mi renda vera la definizione di limite. E' qua che mi intorto.

Riassumendo tutto questo in poche parole forse piu chiare...
Analizzando:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
mi sembra proprio dire: fissa epsilon, trovi delta, riporti la x dentro al controllo con delta in f(x) e confronti con $|f(x) - l|$ con $k*\varepsilon $, funziona? sì: bene quel grafico disegnato rende vera questa proposizione. stop.
(per inciso questa lettura è la stessa che sfrutto per leggere la proposizione 1), ho applicato lo stesso "metodo")

Fin qui abbiamo che il grafico disegnato rende vera la definizione 2)

Passo successivo: detto ciò, avendo dimostrato (come hai fatto tu nel tuo post iniziale) che se questa proposizione è vera => è vera anche quella di limite (e viceversa, ripeto era un se e solo se), allora dovrebbe essere identica ad essa; quindi se il grafico disegnato rispetta la 2) e considero in aggiunta il fatto che ho dimostrato che 1) <=> 2) allora concludo che tale grafico deve per forza di cose rispettare anche la lettura geometrica della proposizione 1). Ma se noti $|f(x) - l|>epsilon$. problema! non rispetta la 1), no?

---

Note

1. Testo nascosto, fai click qui per vederlo
   1) definizione di limite e interpretazione classica
   $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $
   fin dalle superiori viene esposta la lettura di questa proposizione logico/matematica come:
   per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un possibile delta (dell'esiste un delta) che dipende da epsilon scelto. poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)) e cosa succede? beh succede che la f(x) la trovo dentro l'intorno con la epsilon iniziale e quindi questo disegno verifica l'implicazione: è un limite.
   Questa è la riscrittura geometrica di quella proposizione logica.
   ↑

[gabriella127]

2) seconda formula che non riesco a capire graficamente
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
Mi chiedo: come leggo geometricamente 'sta cosa? Mi rispondo: beh si fa il verso a quanto sopra e sfrutto lo stesso procedimento:
per ogni epsilon, quindi fisso una epsilon sulle ordinate, si proietta questo intorno sulla funzione con due righe e si tirano giù sulle ascisse nei punti di intersezione con la funzione, queste due rette verticali mi danno un $delta_epsilon$ (io so che esiste un delta e scelgo questo particolare). Poi, in questo intorno di raggio delta scelgo una x, riproietto tale punto x in su sulla funzione e dal punto di intersezione tra la retta verticale e la funzione traccio una retta parallela alle x e la porto su y (ho così f(x)). A questo punto mi manca di leggere la parte $\Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $ della proposizione, essa cosa dice? ci dice che se trovo f(x) anche oltre l'epsilon iniziale mi va comunque bene e rispetta l'implicazione a patto che sia "non oltre" $k epsilon$ in valori. (sono in una situazione del genere:)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

oss: è scelta molto patologica per riuscire ad avere intorni comodi con proiezioni ma è pur sempre una funzione

E qui mi dico ohibò ma questo non rispetta più la definizione 1).
Insomma, la lettura geometrica che rispetta l'implicazione 2) (perché è dentro il raggio $k epsilon$ la f(x)) sembra non rispettare più la definizione 1) essendo oltre epsilon e quindi non è un limite. E qui la mia intuizione vacilla

Vediamo se riesco a cogliere il tuo dubbio riguardante questa parte geometrica.

Secondo me il discorso è sempre quello che avevo scritto nel mio post precedente: tu vuoi prendere un $\delta$ che va bene per questa seconda definizione, quella con $k\epsilon$, e pretendi che vada bene anche per la prima, quella con $\epsilon$ e basta.

Mi sembra che è questo che fai nella figura: prendi un $\delta$ con questo metodo geometrico, e vedi che va bene per il caso $k\epsilon$ e poi dici: "Ohibò, però per il caso con solo $\epsilon$, questo $\delta$ non va bene! Quindi la definizione di limite numero 1), quella che mi hanno dato in primis, non è rispettata!

E certo, dovevi prendere nel caso 1), con solo $\epsilon$, un altro $\delta$ (là, come dire, 'stai più stretto' se $k>1$).

La definizione (sia la 1 che la 2) ti dice:"Esiste un delta", quindi "Dato l'$\epsilon$, vattene a cercare uno, di $\delta$, che va bene, se esiste uno lo trovi. Non ti dice "Prendi un delta della definizione 2) e usa quello nella definizione 1), che deve andare bene lo stesso."

Insomma, non devi travasare i $\delta$ da un caso all'altro, li devi guardare separatamente.

O usi la definizione 1) o usi la definizione 2), dato che sono equivalenti, ma non devi mescolare le due.

[Mephlip]

Scusa se mi ostino, ma continuo a sospettare che il tuo dubbio geometrico sia in realtà una conseguenza di una non completa comprensione della situazione dal punto di vista logico: al netto del fatto che, con la notazione "più chiara" in cui distinguiamo con un apice gli epsilon della prima e seconda proposizione (e quindi nel disegno dovresti riportare le rette \(l \pm \varepsilon'\) e non \(l \pm \varepsilon\)), il disegno non confuta nulla (neanche intuitivamente/geometricamente) perché, non avendo tu in esso usato l'arbitrarietà di \(\varepsilon\) (in quanto riporti le rette \(l \pm k\varepsilon\) e quindi \(\varepsilon\) ancora non lo hai scelto), geometricamente quel disegno corrisponde a una "fase antecedente" della dimostrazione (algebrica o geometrica che sia) in cui ancora non hai sfruttato l'ipotesi e quindi, non avendola conclusa, certo che non dimostra nulla e che quindi non ti torna neanche graficamente. Il ragionamento grafico che dovrebbe convincerti è il seguente:

Passo \(1\): fisso \(\varepsilon'>0\) e considero le rette orizzontali \(l \pm \varepsilon'\). Voglio trovare un \(\delta_{\varepsilon'}>0\) tale che se \(x\) sta nell'intervallo di centro \(x_0\) e semiampiezza \(\delta_{\varepsilon'}\) il grafico di \(f\) sta nella striscia orizzontale di semiampiezza \(\varepsilon'>0\) e centro \(l \in \mathbb{R}\).

Passo \(2\): so che è vero per ipotesi che sto nella striscia di semiampiezza \(k\varepsilon\) per ogni \(\varepsilon>0\) per un certo \(\delta_{\varepsilon}>0\) . In linea generale, ho pure dei valori di scelta di \(\varepsilon\) che mi mandano non nessariamente dentro la striscia di semiampiezza \(\varepsilon'\) (ad esempio, per \(\varepsilon=(\varepsilon'+1)/k\)).

Passo \(3\): mi accorgo che, essendo la definizione relativa a \(k\varepsilon>0\) vera per ogni \(\varepsilon>0\), graficamente ciò significa che posso restringere quanto voglio la striscia di centro \(l\) in cui sto (intuitivamente perché non importa quanto il fattore \(k\) nel prodotto \(k\varepsilon\) sia grande, l'arbitrarietà di \(\varepsilon\) mi permette di farlo collassare quanto voglio). Quindi, la restringo opportunamente affinché io cada in quella di semiampiezza \(\varepsilon'\) per un certo altro \(\delta_{\varepsilon'}:=\delta_{\varepsilon'/k}\). Fine.

Io, geometricamente, la vedo così. Ti torna? Non ti preoccupare se ancora non ti torna, non ci disturbi assolutamente se continui ad avere dubbi! Potrei aver sbagliato qualcosa io nell'esposizione nel risponderti. Se ti torna, ottimo: dovrebbe così tornarti anche quello che succede con l'altra implicazione.

[gandolfo_m]

@gabriella127: Cavolo, ho visto che non è rimasta salvata la mia risposta a gabriella ma nel frattempo ha risposto mephlip già. Provvedo quindi a leggere la tua risposta e nel frattempo aggiungo il messaggio che cronologicamente andava prima ma non so come e perché non mi ero accorto non avesse salvato su server

(copio incollo, fortuna avevo lasciato la pagina aperta con la modifica o mi sarei sparato XD)

Uhm sai che forse ho capito ora che mi ci fai riflettere meglio, vediamo se mi dai conferma ma mi sa che mi ero incartato in una cavolata nel ragionamento che facevo qui

Riassumendo tutto questo in poche parole forse piu chiare...
Analizzando:
$\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\varepsilon $
mi sembra proprio dire: fissa epsilon, trovi delta, riporti la x dentro al controllo con delta in f(x) e confronti con $|f(x) - l|$ con $k*\varepsilon $, funziona? sì: bene quel grafico disegnato rende vera questa proposizione. stop.
(per inciso questa lettura è la stessa che sfrutto per leggere la proposizione 1), ho applicato lo stesso "metodo")

Fin qui abbiamo che il grafico disegnato rende vera la definizione 2)

Passo successivo: detto ciò, avendo dimostrato (come hai fatto tu nel tuo post iniziale) che se questa proposizione è vera => è vera anche quella di limite (e viceversa, ripeto era un se e solo se), allora dovrebbe essere identica ad essa; quindi se il grafico disegnato rispetta la 2) e considero in aggiunta il fatto che ho dimostrato che 1) <=> 2) allora concludo che tale grafico deve per forza di cose rispettare anche la lettura geometrica della proposizione 1). Ma se noti $|f(x) - l|>epsilon$. problema! non rispetta la 1), no?

Siano

1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

2) $\forall \sigma > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\sigma $

Il problema di questo ragionamento che avevo svolto è che in effetti, scelto il sigma (cambio nome perché confonde meno sull'esposizione usare sigma e epsilon distinti) avevo ragione sul fatto che graficamente la 2) (si legga quote in che modo) non rispetta la definizione 1) ma con un caveat, ossia non rispetta la 1) senza andare ad usare il per ogni epsilon, io infatti usavo sbagliando lo stesso $epsilon=sigma$ (e qui era il mio errore). mentre dato che ho "per ogni" nella 1) succede quanto segue:
parto dalla 2) imposto il mio sigma nella 2) trovo il $delta_(ksigma)$ come in figura per cui vale il fatto che $|f(x)-l|$ stia nel relativo intorno di raggio $ksigma$, proprio per via del per ogni $epsilon$ in 1) posso qui riadattarlo e assumo $epsilon=ksigma$ e in questo epsilon riadattato in effetti rientra il valore di f(x).

il confronto errato tra 1) e 2) sorgeva proprio in questo punto: prendevo la definizione 1) moncata del "per ogni" e quindi non sfruttavo l'epsilon riadattato come $epsilon=k sigma$.

Che ne pensate? mi sembra tornare.


@mephlip: ho letto molto attentamente e ho capito quello che dici tu, però quella è la dimostrazione grafica di come valga la definizione di limite sfruttando l'ipotesi dell'intorno $k epsilon$ (cioè mi mostra che posso far funzionare la definizione classica di limite assumendo per ipotesi la 2) ). Il mio dubbio invece soggiaceva nel leggere la definizione 2) e poi raffrontarla con la definizione 1) e non capire perché uscissi dall'intorno dato dalla definizione 1). Forse sbaglio ma mi sembrava un poco diverso. Ma forse sono solo orbo io e non ho capito quanto sto dicendo io stesso .

[gabriella127]

(copio incollo, fortuna avevo lasciato la pagina aperta con la modifica o mi sarei sparato XD)

Uhm sai che forse ho capito ora che mi ci fai riflettere meglio, vediamo se mi dai conferma ma mi sa che mi ero incartato in una cavolata nel ragionamento che facevo qui[\quote]

1) $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon $

2) $\forall \sigma > 0,\ \exists \delta > 0:\quad 0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <k*\sigma $

Il problema di questo ragionamento che avevo svolto è che in effetti, scelto il sigma (cambio nome perché confonde meno sull'esposizione usare sigma e epsilon distinti) avevo ragione sul fatto che graficamente la 2) (si legga quote in che modo) non rispetta la definizione 1) ma con un caveat, ossia non rispetta la 1) senza andare ad usare il per ogni epsilon, io infatti usavo sbagliando lo stesso $epsilon=sigma$ (e qui era il mio errore). mentre dato che ho "per ogni" nella 1) succede quanto segue:
parto dalla 2) imposto il mio sigma nella 2) trovo il $delta_(ksigma)$ come in figura per cui vale il fatto che $|f(x)-l|$ stia nel relativo intorno di raggio $ksigma$, proprio per via del per ogni $epsilon$ in 1) posso qui riadattarlo e assumo $epsilon=ksigma$ e in questo epsilon riadattato in effetti rientra il valore di f(x).

il confronto errato tra 1) e 2) sorgeva proprio in questo punto: prendevo la definizione 1) moncata del "per ogni" e quindi non sfruttavo l'epsilon riadattato come $epsilon=k sigma$.

Stai parlando con me o con Mephlip? Gli $\epsilon-\delta$ danno alla testa , sto andando in confusione.

Comunque ora ho capito perfettamente il tuo dubbio e quello che ora dici, sono d'accordo. Hai fatto bene a scrivere $\sigma$ così c'è meno confusione tra le due definizioni, e le vedi distinte.

Tu, quando andavi a prendere la 'fascia' nel caso $k\epsilon$ la prendevi 'troppo stretta', prendevi solo $epsilon$, non il $\sigma=k\epsilon$.
In sostanza il punto è sempre quello, detto terra terra: non puoi trasportare gli $\epsilon$ e i $\delta$ da una definizione all'altra tali e quali.

Non dico altro se no riconfondo le cose, penso che ora hai chiarito.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Detto tra noi, questo sistema grafico non mi entusiasma (mi pare anche che con funzioni discontinue può dare risultati bizzarri), secondo me confonde più che chiarire.
Sarà che io non ho fatto niente di matematica al liceo, e non l'avevo visto. Aver fatto $0$ di matematica al liceo mi ha dato il vantaggio di arrivare alla matematica universitaria come asino totale, ma un grosso asino, cosa che però dà il vantaggio di non avere idee scolastiche preconcette (non parlo di te, eh? dico in generale).

Ad esempio, con funzione discontinua:



Ok, hai preso un $\epsilon$ a piacere, disegni le rette parallele all'asse delle $x$, per avere la fascia, e do' vai? Le rette non incontrano il grafico della funzione.

Ed è solo un esempio, ma fermo qui la divagazione.

[gandolfo_m]

In realtà rispondevo a te (gabriella), cioè la risposta era frutto del tuo suggerimento sopra. Poi ho cliccato invio, ero convinto avesse salvato e sono uscito senza guardare oltre. Rientrato ho visto che c'era già una seconda risposta di mephlip e non quella che avevo creato io. Per fortuna avevo il browser aprendo le ultime schede manteneva ciò che avevo scritto e così ho copiato e incollato il messaggio originale, poi ho letto la risposta di mephlip ed editato sotto con una risposta per lui. Vabbé insomma, un pasticcio .

Tu, quando andavi a prendere la 'fascia' nel caso kε la prendevi 'troppo stretta', prendevi solo ε, non il σ=kε.

Eh si, e soprattutto non sfruttavo il "per ogni" della prima definizione. Quindi mi limitavo solo a dire non funziona per $sigma=epsilon$, ma proprio in forza al per ogni potevo ri-settarlo per mostrare che funzionava.

Però si, direi che ormai ci siamo. Soprattuto grazie a te (voi) perché il tuo spunto è stato fondamentale per permettermi di capire. Hai detto una parola che mi ha acceso la lampadina e ti ringrazio di cuore per avermi tolto da un mega-dubbio. Mi sento più leggero

Per quanto riguarda il tuo grafico, esatto è un altro esempio carino del mostrare che sfruttare i delta proiettati dagli epsilon scelti sulle ordinate non è sempre sensato. E' intuitivo ma non "correttissimo", dato che il delta puoi sceglierlo tu, basta che esista. Sempre se ho ben capito il tuo spunto .

[gabriella127]

Mi sento più leggero

Contenta che ti abbiamo alleggerito

Per quanto riguarda il tuo grafico, esatto è un altro esempio carino del mostrare che sfruttare i delta proiettati dagli epsilon scelti sulle ordinate non è sempre sensato. E' intuitivo ma non "correttissimo", dato che il delta puoi sceglierlo tu, basta che esista. Sempre se ho ben capito il tuo spunto .

Volevo solo dire di non prendere per oro colato quel metodo, che mi sembra solo un aiuto pratico per districarsi con gli epsilon etc., non un 'metodo' vero e proprio infallibile.