\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^2 \sin x}
\]
normalmente risulta in una forma indeterminata. Notando che il grado del numeratore è 2 e quello del denominatore è 1, decido di sfruttare lo sviluppo di Taylor di $ \sin x $ al terzo grado per il numeratore e al primo grado per il denominatore. Ottengo:
\[
\frac{\sin x - x}{x^2 \sin x} = \frac{x-\frac{1}{6} x^3 + o(x^3) - x}{x^2 \left( x + o(x) \right)} = \frac{- \frac{1}{6} x^3 + o \left( x^3 \right)}{x^3 + o \left(x^3 \right)}
\]
Dunque il limite diventa
\[
\lim_{x \to 0} \left( -\frac{x^3}{6} \frac{1}{x^3} \right) = - \frac{1}{6}
\]
chiedo gentile conferma, come al solito (e/o suggerimenti, anche per le notazioni, che voglio sempre migliorare).
Grazie mille