Controllo limite con Taylor-Peano

[ncant]

Sì, sempre al netto degli \(\text{o}\)-piccoli. Vedi, qui se uno non va avanti col seno oltre al terzo ordine (non considerando così il doppio prodotto \(2x \cdot \frac{x^5}{120}\)), si perde un termine rilevante per il risultato del limite e giunge comunque a un limite finito ma errato. Quindi, penso fosse questo quello che intendeva il tuo docente.

Nella (scarna) dispensa che ci ha dato ha scritto quanto segue:
" Domanda: Come scelgo quanti termini dello sviluppo di Taylor devo prendere?
Guardando i vari termini che compongono la funzione da studiare, avendo un po' di esperienza ci si fa un idea di quali sono i termini piu importanti da confrontare e si cerca uno sviluppo che li contenga: ad es. nell esercizio 20 si vede che il denominatore Ë di secondo grado, quindi si cerca di sviluppare il numeratore in modo da avere almeno i termini di secondo grado e un resto di grado superiore (in modo da poterli confrontare con quelli al denominatore). "
Dove, l'es. 20 è
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}
\]

Comunque, sono un uomo .

[pilloeffe]

Dove, l'es. 20 è $ \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} $

Beh, qui comunque non c'è bisogno di ricorrere agli sviluppi in serie, a meno del segno è un limite notevole:

$ \lim_{x \to 0} \frac{cos(x) - 1}{x^2} = - \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos(x)}{x^2} = - \lim_{x \to 0} \frac{(1 - cos(x))(1 + cos(x))}{x^2(1 + cos(x))} = $
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{1 - cos^2(x)}{x^2(1 + cos(x))} = - \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + cos(x)} = $
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + cos(x)} = - 1 \cdot 1/2 = - 1/2 $

[ncant]

Grazie @pilloeffe . Mi accorgo sempre di cose nuove con te