Limite di una funzione a due variabili

[StrilingAlQuadrato]

Ciao

Studiare il limite

$ lim_(x,y -> 0,0) (xycos(xy))/(x^2+y^4) $

$ lim_(x,y -> 0,0) (xycos(xy))/(x^2+y^4) = 0/0 $ (forma indeterminata)

Provo a porre $ y=kx $

$ lim_(x -> 0) (x*kx*cos(x*kx))/(x^2+k^4x^4) $
$ lim_(x -> 0) (k*x^2*cos(x*kx))/(x^2(1+k^4x^2)) $
$ lim_(x -> 0) (k*cos(kx^2))/(1+k^4x^2) = (k*1)/(1) = k $

Consigli su come procedere? Grazie in anticipo.

[Mephlip]

A parte il segno di limite che scompare, il consiglio è una domanda: perché hai posto \(y=kx\)? Dove volevi arrivare?

[StrilingAlQuadrato]

Scusami ho sistemato, ero un po' distratto mentre ricopiavo da carta.

Direi che l'ho fatto perché se trovo due curve che si avvicinano all'origine e tendono a qualcosa differente posso dire che il limite non esiste.
Ponendo che $ y = kx $ capisco a che cosa tende la funzione quando ci avviciamo all'origine tramite il fascio di rette. Noto che se ci avviciniamo all'origine tramite il fascio di rette la funzione tende al coefficiente della retta stessa $ (k) $.
Quindi, posso forse dire che il limite non esiste per questo motivo?.

Un'altra cosa che ho fatto per risolvere il limite è stata provare con il teorema dei carabinieri cercando funzioni maggiori o minori di $ f(x,y) $ ma non so come capire a cosa tendono quest'ultime, quindi è un loop infinito .

[pilloeffe]

Ciao StrilingAlQuadrato,

Quindi, posso forse dire che il limite non esiste per questo motivo?

Esatto, perché il risultato del limite dipende dal valore di $k $ scelto, quindi...
Attenzione che nel momento in cui assumi $y = kx $ il limite diventa nella sola $x$, quindi devi scrivere semplicemente $\lim_{x \to 0} $, non più $\lim_{(x,y) \to (0, 0)} $

[StrilingAlQuadrato]

Grazie mille