Punti di massimo, minimo e sella

[HowardRoark]

Devo calcolare i punti di massimo, minimo e sella di $f(x,y)= x/(sqrt(x^2+y^2)$
$D_f = RR^2 \ {(0,0)}$

$f_x = (sqrt(x^2+y^2)-x^2/(sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)$.
$f_y = (-(xy)/(sqrt(x^2+y^2)))/(x^2+y^2)$.

Pongo il gradiente uguale a 0 per trovare gli eventuali punti di massimo, minimo e sella:

$\{(sqrt(x^2+y^2) - x^2/(sqrt(x^2+y^2)) = 0), ((-xy)/(sqrt(x^2+y^2)) = 0) :}$.
Dalla prima equazione trovo $y=0$, ma ora ho difficoltà a ricavarmi la $x$, come posso fare secondo voi?

[Mephlip]

Sostituendo \(y=0\) nella seconda, ottieni \(0=0\) che è vera per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Quindi, tutti i punti \((x_0,0)\) con \(x_0 \ne 0\) sono punti che annullano il gradiente.

[HowardRoark]

Quindi tutti i punti $(x_0, 0)$, con $x_0 != 0$ possono essere di massimo, minimo o sella? Perché il mio testo dà come soluzioni $(1,0)$ max e $(-1,0)$ min.

[Mephlip]

Hai detto tu stesso "eventuali". Lo studio della natura dei punti estremanti non si conclude con il gradiente, devi procedere con lo studio della matrice hessiana in \((x_0,0)\) (e, talvolta, neanche questo metodo funziona). Sono d'accordo col tuo testo per quanto riguarda la soluzione.

[HowardRoark]

Il determinante della matrice hessiana mi viene uguale a 0 (calcolato ovviamente in $(x_0,0)$), quindi in questo caso per il calcolo dei punti critici mi consigli di trovare gli autovalori della matrice?
Ho detto una cavolata, gli autovalori sono $-1$ e $0$ e non ne ricavo comunque nulla, allora non so proprio come trovare i punti sinceramente.

[Mephlip]

Se l'hessiana ha determinante nullo, non si può dedurre nulla. Quindi sì, il metodo dell'hessiana è inconcludente in questo caso. L'unica cosa che puoi fare è procedere con la definizione. Ragionaci un po', se non ti viene in mente nulla prova a scrivere i tuoi ragionamenti e poi ti faccio vedere come si conclude!

[HowardRoark]

Valuterei la funzione in $(x_1, 0)$, che fa $+1$ e in $(x_2, 0)$ che fa $-1$

Prendo ad esempio $f(x_1, 0) = 1$ e considero $f(x_1-epsilon, -epsilon)$
Quindi si ha $1>(x_1-epsilon)/(sqrt((x_1-epsilon)^2 + (epsilon)^2))$ per ogni $epsilon$ piccolo a piacere.
Però non mi viene in mente un metodo per trovare $x_1$, in classe non abbiamo trattato questa casistica.

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

Comincerei con l'osservare che la funzione proposta $z = f(x, y) = x/\sqrt{x^2 + y^2} $ è positiva per $x > 0 $ e negativa per $x < 0 $ nel suo dominio naturale $D_f $
Qual è la definizione di punto di massimo e di punto di minimo per le funzioni di due variabili?

Dicesi massimo relativo libero per una funzione $z = f(x,y)$ un punto $P_1(x_1,y_1)$ tale che $f(x,y) \le f(x_1,y_1) $ per tutti i punti di un intorno di $P_1$ contenuto nel dominio della funzione;
dicesi invece minimo relativo libero un punto $P_2(x_2, y_2)$ tale che $f(x,y) \ge f(x_2,y_2)$ per tutti i punti di un intorno di $P_2$ contenuto nel dominio della funzione.
Se le relazioni citate valgono non solo in un intorno del punto, ma su tutto il dominio, allora si parla di estremanti (massimi e minimi) assoluti.
Prova ad applicare queste definizioni per i tuoi punti considerando che nel tuo caso $y_1 = y_2 = 0 $ e che

$ \sqrt{x^2} = |x| = {(x \text{ per } x > 0),(- x \text{ per } x < 0):} $