Problema di Cauchy

[Joker1]

Salve, potete aiutarmi con il seguente problema di Cauchy?
y'=cos(x-y)
y(0)=0
(Ho provato a usare la formula $$cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$
ma non riesco lo stesso).

[gugo82]

Qual è il testo completo dell'esercizio?
(Questa cosa ce la siamo già detta altrove, tempo fa...)

[Joker1]

Scusa, l'ho dato per scontato.
È questo: "Determinare tutte le eventuali soluzioni del problema di Cauchy specificando il più ampio intervallo nel quale sono definite".

[gugo82]

Di soluzioni, se ce ne sono, ce n'è una sola per ovvi motivi.
Una soluzione si trova "a occhio": è $y(x) = x$.
Quindi...

Ad ogni buon conto, visto che credo tu sia qui per indicazioni di carattere un po' generale, rifletti su questo.
La EDO è "brutta", perché è molto non lineare e non separa le variabili; anche sfruttando trucchi noti (ad esempio, la formula di sottrazione del coseno) la complessità non si abbassa.
Tuttavia, osserva che si può introdurre un'incognita ausiliaria per semplificare il problema: difatti, ponendo:

$z(x) = x - y(x)$,

di modo che $z^'(x) = 1 - y^'(x)\ =>\ y^'(x) = 1 - z^'(x)$ e $z(0)=0$, il problema di Cauchy diventa:

$\{(1 - z^'(x) = cos z(x)), (z(0) = 0):} \ <=>\ \{(z^'(x) = 1 - cos z(x)), (z(0) = 0):}$

che si risolve con tecniche standard o osservando che la soluzione costante $z(x) = 0$ è l'unica possibile.

[Joker1]

Va bene, grazie.

[gugo82]

Prego.