Convergenza assoluta

[Martyyyns]

Buonasera.
Ho un dubbio con un esercizio. La domanda è: ha senso parlare di convergenza assoluta di una serie a termini di segno costante? O riguarda solo le serie a termini di segno variabile?

[Mephlip]

Secondo te? Qual è la definizione di convergenza assoluta di una serie? Scritta la definizione, nelle ipotesi da te riportate sul segno, puoi trovare condizioni necessarie e sufficienti tra lo studio del carattere della serie nel caso dell'assoluta e di quella semplice?

[Martyyyns]

Puoi spiegarmelo tu? Non trovo una definizione che risponda al mio dubbio

[Mephlip]

Potrei, ma questo non ti aiuterebbe a diventare sempre più indipendente negli studi. Quindi, ti consiglio di prendere gli appunti/libro di testo e cercare la definizione di convergenza assoluta. Fatto ciò, ti chiedo anche di riportare che cosa significa che una serie è a termini di segno costante. Una volta che avremo fissato queste due cose, ti aiuterò ad arrivare alla risposta. Attendo qui .

[pilloeffe]

Ciao Martyyyns,

Aiutiamoci con un esempio...
La serie

$\sum_{n = 1}^{+\infty} (- 1)^{n + 1} 1/n $

è
A) assolutamente convergente
B) semplicemente convergente
C) sono corrette entrambe le risposte precedenti
D) divergente
(è corretta una sola delle risposte, ma devi giustificarla, non sparare a caso... )

[Guess1903log2]

La serie converge a segni alterni sicuramente

[Martyyyns]

Definizione di serie assolutamente convergente:

La serie $ ∑_(k=0)^∞a_k $ si dice assolutamente convergente se $ ∑_(k=0)^∞| a_k |$ è convergente (semplicemente).

Criterio di convergenza assoluta:

Se $ ∑_(k=0)^∞a_k $ è assolutamente convergente, allora è anche semplicemente convergente.

Definizione di serie a termini di segno alterno:

Qualsiasi serie del tipo:

$ ∑_(k=0)^∞(-1)^k a_k $

con $a_k >= 0$ definitivamente per k $ rarr $ $ oo $

[pilloeffe]

Va bene, a parte il fatto che avrei scritto semplicemente $\sum $ o $\sum_k $ perché non è detto che la serie parta proprio da $k = 0 $...

Definizione di serie assolutamente convergente:

Alla luce di questa definizione che hai dato, cosa puoi dire in merito alla serie che ti ho proposto?
Conosci il Criterio di Leibniz per le serie dell'ultima definizione che hai dato?

[Martyyyns]

La risposta al quesito che hai posto è la B per il criterio di Leibnitz.

[pilloeffe]

Giusto. Ma converge assolutamente? Qual è la serie assoluta, me la scrivi?