Studio di una funzione in due variabili

[Martyyyns]

Data la funzione:

$ { ( (x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) + 2/(1+xy)) , ( 1 ):} $

Rispettivamente per (x,y) $ != $ (1,1) e per (x,y)=(1,1)

Specificare il dominio di f(x,y). Stabilire se è continua, differenziabile, di classe C1 nel dominio.
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Ho cominciato l'esercizio con il calcolo del dominio che a mio parere è dato da:
$ { ( (x-1)^2+(y-1)^2>0),( 1+xy !=0):} $

La prima equazione risulta valida per ogni (x,y) $ in $ R2. Quindi il dominio è $y!=1/x$.
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Dopo di che volevo procedere con la continuità ma lo svolgimento della professoressa è diverso da quello che avrei attuato.
Io avrei considerato la funzione nel suo insieme, calcolando le derivate parziali e studiando il loro comportamento. Lei invece dice ciò:

"Dai teoremi sui limiti si verifica che f è di classe C1 in D tranne che in (1,1) e quindi occorre studiare f solo nel punto (1,1)." Cosa ha fatto per arrivare a concludere ciò?

" $ f(x,y) = f_1(x,y) + 2/(1+xy) $ con $ f_1(x,y) = { ( (x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) ),( 0 ):} $
Rispettivamente per (x,y) $ != $ (1,1) e per (x,y)=(1,1) "

Dopo di che considera solo la funzione $ 2/(xy+1) $ dicendo che è continua, differenziabile e di classe C1 in (1,1).
E poi studia $f_1(x,y)$ sempre in (1,1).
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Sintetizzo di nuovo i miei dubbi:
- Non si sarebbe potuto fare tutto assieme ?
- Come è arrivata a considerare solo il punto (1,1)?

[pilloeffe]

Ciao Martyyyns,

La somma di quadrati è sempre positiva o al più nulla (ma per $x = y = 1 $ si ha $f(1, 1) = 1$), quindi non hai bisogno della prima disequazione che hai scritto per determinare il dominio naturale della funzione, deve essere verificata invece la seconda condizione $xy + 1 \ne 0 \iff xy \ne - 1$

Non si sarebbe potuto fare tutto assieme ?

Magari sì, ma sarebbe stato sicuramente più complicato.

Come è arrivata a considerare solo il punto (1,1)?

Perché il punto critico dove potrebbe accadere qualcosa di strano è solo il punto $(1, 1)$, negli altri punti che annullano il denominatore della frazione $2/(1 + xy) $ la funzione non è definita, quindi non ha senso chiedersi se è ivi continua e derivabile.
Siccome poi $\lim_{(x, y) \to (1, 1)} f_1(x, y) = f_1(1, 1) = 0 $ allora $f_1(x, y) $ è ivi continua.

[Martyyyns]

Ma il punto (1,1) non annulla il denominatore di $ 2/(1+xy) $ . Quindi risulta problematico solo per il logaritmo?
Se non è un problema, qualcuno potrebbe spiegarmi gentilmente i singoli passaggi atti a risolvere questo esercizio?

[pilloeffe]

Quindi risulta problematico solo per il logaritmo?

Esatto... Ma $f_1(1,1) = 0 $, quindi per verificare la continuità occorre verificare che sia $\lim_{(x, y) \to (1, 1)} f_1(x, y) = 0 $

[Martyyyns]

Quindi potrebbe per favore riassumermi i passaggi logici che sono stati effettuati?

[pilloeffe]

Dunque vediamo di fare un po' di ordine...
E' assegnata la funzione seguente:

$f(x, y) = {((x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) + 2/(1+xy) \text{ per } (x, y) \ne (1, 1)) , (1 \text{ per } (x, y) = (1, 1)):} $

Dovrebbe esserti chiaro che il suo dominio naturale è $D = \RR^2 - {(x, y) \in \RR^2 : xy = - 1} $

"Dai teoremi sui limiti si verifica che f è di classe C1 in D tranne che in (1,1) e quindi occorre studiare f solo nel punto (1,1)."

Più che dai teoremi sui limiti direi dai teoremi su somma, prodotto e quoziente di funzioni continue si verifica che $f$ è di classe $C^1$ in tutto il suo dominio naturale $D$ tranne che nel punto $(1,1)$ dove la funzione vale $1$ per definizione, ma siccome l'argomento del logaritmo si annulla in tale punto occorre indagare ulteriormente per vedere se $\lim_{(x, y) \to (1, 1)} f(x, y) $ risulta effettivamente uguale al valore della funzione nello stesso punto, cioè uguale a $1$ (definizione di continuità).
Ora, siccome la funzione $f_2(x, y) = 2/(1 + xy) $ che compare nella definizione di $f(x,y) $ non dà problemi e vale $1$ nel punto $(1,1)$, ci possiamo limitare a considerare la funzione $f_1(x, y) $ che invece qualche problema in quel punto lo dà:

$f_1(x,y) = {((x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) \text{ per } (x, y) \ne (1, 1)) , (0 \text{ per } (x, y) = (1, 1)):} $

In effetti passando alle più comode coordinate polari si ha:

$\lim_{(x, y) \to (1, 1)} f_1(x, y) = \lim_{(x, y) \to (1, 1)} (x-1)(y-1)log((x-1)^2 +(y-1)^2) = $
$ = \lim_{(\rho, \theta) \to (0, \star)} \rho^2 sin\theta cos\theta log\rho^2 = \lim_{(\rho, \theta) \to (0, \star)} \rho^2 2sin\theta cos\theta log\rho = \lim_{(\rho, \theta) \to (0, \star)} \rho^2 sin(2\theta) log\rho = 0 $

indipendentemente da $\theta$. Dunque in effetti abbiamo verificato che $\lim_{(x, y) \to (1, 1)} f_1(x, y) = 0 = f_1(1, 1) $, cioè che $\lim_{(x, y) \to (1, 1)} f(x, y) = 1 = f(1, 1) $ (definizione di continuità della funzione).

[Martyyyns]

Più che dai teoremi sui limiti direi dai teoremi su somma, prodotto e quoziente di funzioni continue si verifica che $f$ è di classe $C^1$ in tutto il suo dominio naturale $D$ tranne che nel punto $(1,1)$

Come si fa a verificare ciò? con le derivate parziali?
Solitamente per dimostrare che una funzione in due variabili sia di classe C1, ne calcolo la derivata parziale rispetto a x e rispetto a y. Verifico che siano continue nel dominio. Ad esempio se incontro un punto problematico per la continuità della derivata parziale rispetto a x, calcolo la derivata parziale nel punto usando la definizione di limite del rapporto incrementale.
Dopo di che calcolo il limite della funzione derivata parziale per (x,y) tendente al punto problematico. Se il valore corrisponde a quello trovato nel passaggio precedente, allora è verificata la continuità della derivata parziale. Quando tutte le derivate parziali sono continue, la funzione mi risulta di classe C1.
è corretto? La professoressa ha omesso tutto questo procedimento e ne ignoro il motivo. Forse ce n'è uno più semplice?


Dopo di che lei ha dimostrato la continuità di $f_1(x,y)$ in (1,1). E ci troviamo solo al primo punto della questione.
Per dimostrare che sia di classe C1 tutta la funzione $f(x,y)$ posso evidentemente spezzare la stessa in $f_1(x,y)$ e $f_2(x,y)$ e dimostrare che ciascuna di loro sia di classe C1. Entrambe lo sono quindi l'intera funzione è di classe C1 e quindi differenziabile.
Domanda per curiosità: se una fosse di classe C1 e l'altra no, tutta la funzione sarebbe non differenziabile, giusto?

Comunque grazie mille per l'aiuto con la prima parte

Inoltre proprio ora mi sto trovando a risolvere la seconda parte dell'esercizio verificando la differenziabilità di f1(x,Y). Devo calcolare le derivate parziali. Il punto problematico è lo stesso, (1,1), perché la derivata è definita dove la funzione stessa è definita. Quindi calcolo il limite della funzione derivata parziale per (x,y) tendente a (1,1). Trovo che tale limite è 0.
Perché quindi c'è continuità della derivata? perché è lo stesso valore che la funzione derivata assume in (1,1)? La funzione f1(x,y) vale 0 in (1,1). Quindi 0 derivato è 0. Perciò se questo valore è analogo allora è verificata la continuità?

[pilloeffe]

Solitamente per dimostrare che una funzione in due variabili sia di classe C1, ne calcolo la derivata parziale rispetto a x e rispetto a y. Verifico che siano continue nel dominio. Ad esempio se incontro un punto problematico per la continuità della derivata parziale rispetto a x, calcolo la derivata parziale nel punto usando la definizione di limite del rapporto incrementale.
Dopo di che calcolo il limite della funzione derivata parziale per (x,y) tendente al punto problematico. Se il valore corrisponde a quello trovato nel passaggio precedente, allora è verificata la continuità della derivata parziale. Quando tutte le derivate parziali sono continue, la funzione mi risulta di classe C1.
è corretto? La professoressa ha omesso tutto questo procedimento e ne ignoro il motivo.

Non posso sapere perché la tua professoressa ha omesso tutto questo procedimento, ma diciamo che si vede ad occhio che le due derivate rispetto a $x$ e rispetto a $y$ non danno alcun problema in $D$ fatta eccezione per il punto $(1, 1) $ in quanto somma, prodotto, quoziente di funzioni continue:

$(\del f_1)/(\del x) = (2 (x - 1)^2 (y - 1))/((x - 1)^2 + (y - 1)^2) + (y - 1)log((x - 1)^2 + (y - 1)^2) $

$(\del f_1)/(\del y) = (2 (y - 1)^2 (x - 1))/((x - 1)^2 + (y - 1)^2) + (x - 1) log((x - 1)^2 + (y - 1)^2) $

Procedendo con le stesse coordinate polari già viste nel mio post precedente non è difficile rendersi conto che
si ha:

$\lim_{(x,y) \to (1, 1)} (\del f_1)/(\del x) = \lim_{(x,y) \to (1, 1)} (\del f_1)/(\del y) = 0 $

Perché quindi c'è continuità della derivata? perché è lo stesso valore che la funzione derivata assume in (1,1)? La funzione f1(x,y) vale 0 in (1,1). Quindi 0 derivato è 0. Perciò se questo valore è analogo allora è verificata la continuità?

Esatto... La derivata è una funzione come un'altra: la verifica della continuità si fa con la definizione come per qualsiasi altra funzione.

[Martyyyns]

Ti ringrazio tantissimo. Tutto chiaro