Dimostrazione irrazionalità di $log_2(3)$

[mau21]

Buongiorno,
come scritto nel titolo vorrei che mi aiutaste a dimostrare l'irrazionalità di $log_2(3)$, io ho provato a farlo per assurdo supponendo che, se fosse razionale, sarebbe esprimibile come $log_2(3)=m/n$ con $m,ninNN$, supponendoli ridotti ai minimi termini posso ipotizzare che il minimo comune multiplo tra $m$ e $n$ sia pari a $1$.
Può essere corretto fino a qui?
Da qui però non so bene come procedere, ho provato a elevare tutto al quadrato ma non ottengo niente che mi possa sembrare utile.
Grazie mille per l'aiuto!

[mau21]

Forse mi è venuta un'idea: lasciando perdere l'ipotesi del minimo comune multiplo ho provato a applicare la proprietà del cambio di base ottenendo $m=n*log_n(3)/log_n(2)$
svolgendo alcuni calcoli arrivo così a ottenere $n^3=2^m$
però francamente anche così non so come terminare, perchè $2^m$ è multiplo di $2$, ma per quanto riguarda $n^3$ non so niente...

[megas_archon]

Se \(p,q\) sono primi distinti, e \(\log_pq=\frac ab\) per \((a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z^\times\), allora sarebbe \(p^a=q^b\), che è impossibile (per l'unicità della fattorizzazione in primi di un intero).

[mau21]

Grazie mille, questa uguaglianza la otterrei applicando la proprietà del cambio di base con la base $m*n$ giusto?
Grazie ancora!

[pilloeffe]

Ciao mau21,

La questione è già stata discussa in questo thread.

[gugo82]

Bastano le definizioni di logaritmo e potenza frazionaria.
Si ha $log_2 3 = m/n$ se e solo se $2^(m/n) = 3$ ossia solo se $2^m=3^n$; ma ciò è impossibile per l'unicità della scomposizione in fattori primi.

[mau21]

Va bene, grazie mille a entrambi!