Sistema di equazioni

[missu00]

Salve a tutti, a partire dal sistema di equazioni $ { ( 1/n_ 2 costheta_2=1/n_1 costheta_1 ),( n_1 sintheta_1 =n_2 sintheta_2):} $ ho provato a trovarne la soluzione che so essere $ tantheta_1=n_2/n_1 $ , purtroppo però con scarso successo. Qualcuno mi potrebbe dare una mano? Ho provato ad usare la relazione $ tan(arcsin(x))=x/sqrt(1-x^2 $ ma non sono sicuro sia la strada giusta.

Grazie mille in anticipo

[sellacollesella]

Posto \(n_1\ne 0\) e \(n_2\ne 0\), tale sistema di equazioni equivale a quest'altro: \[
\begin{cases}
n_1\cos\theta_1 = n_2\cos\theta_2 \\
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \\
\end{cases}
\] ossia, quadrando ambo le equazioni e sommandole membro a membro, si ha: \[
n_1^2 = n_2^2 \quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad n_2 = \pm n_1.
\] Pertanto, ogni qual volta sia \(n_2 \ne \pm n_1\) quel sistema è privo di soluzioni!

[missu00]

Chiedo scusa, ho sbagliato ad inserire i pedici nella prima equazione . Ho corretto.

[sellacollesella]

Ok, allora in quest'altro caso abbiamo: \[
\begin{cases}
\frac{n_2}{n_1}\cos\theta_1 = \cos\theta_2 \\
\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1 = \sin\theta_2 \\
\end{cases}
\] ossia, quadrando ambo le equazioni e sommandole membro a membro, si ha: \[
\frac{n_2^2}{n_1^2}\,\cos^2\theta_1+\frac{n_1^2}{n_2^2}\,\sin^2\theta_1=\cos^2\theta_2+\sin^2\theta_2
\] o ancora: \[
\frac{n_2^2}{n_1^2}\,\cos^2\theta_1+\frac{n_1^2}{n_2^2}\left(1-\cos^2\theta_1\right)=1
\] che è un'equazione facilmente risolvibile.