Lemma riguardante la somma di funzioni esponenziali

[Littlejacob26]

Sto avendo qualche problema nel dimostrare il seguente Lemma:
Dati $2\leq N \in 2\mathbb{N}$ e $m\in \mathbb{Z}$, allora \[\frac{1}{N}\sum^{\frac{N}{2}-1}_{n=-\frac{N}{2}}e^{-2\pi i m \frac{n}{N}}= \begin{cases}
1, \; m\in N\mathbb{Z}\\
0, \; altrimenti
\end{cases}\]

[Mephlip]

Cosa hai provato a fare? Per esempio, hai provato a notare che \(e^{-2\pi i m n/N}=\left(e^{-2\pi i m /N}\right)^n\)?

[Littlejacob26]

Il mio approccio è stato il seguente:
Estraendo $n=0$ e $n=-\frac{N}{2}$ ed applicando la formula di Eulero, ottengo \[\frac{1}{N}\left[e^{-\pi i m} + 1 + 2 \sum_{n=1}^{\frac{N}{2}-1}cos(2\pi m \frac{n}{N})\right]\]
Arrivato qui, non riesco ad arrivare al risultato finale

[Littlejacob26]

Utilizzando l'approccio \(\left(e^{-\frac{2\pi i m}{N}}\right)^{n}\) ottengo come risultato della sommatoria
\[\frac{2i \sin(\pi m)}{1-e^{-\frac{2\pi i m}{N}}}= \frac{2i \sin(\pi m)}{1-\cos(\frac{2\pi m}{N}) + i\sin(\frac{2\pi m}{N})}\]
Il risultato per \(m \notin N\mathbb{Z}\) torna, ma il secondo no, o sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao Littlejacob26,

Benvenuto sul forum!

Mi pare semplicemente un caso particolare della somma di una progressione geometrica:

\begin{equation}
\boxed{cx^p + cx^{p + 1} + \dots + cx^{q - 1} + cx^q = \sum_{n=p}^q cx^n =
\begin{cases}
c\;\dfrac{x^p - x^{q + 1}}{1 - x} & \text{se $x \ne 1$}\\
c \cdot (q - p + 1) & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\label{def:sum_{n=p}^q cx^n}
\end{equation}

Nel tuo caso $p = - N/2 $, $q = N/2 - 1 $, $c = 1 $ e $x = e^{-2\pi i m /N} $, sicché si ha:

\begin{equation}
\boxed{\sum_{n=- \frac{N}{2}}^{\frac{N}{2} - 1} \big(e^{-2\pi i \frac{m}{N}}\big)^n =
\begin{cases}
\dfrac{x^{-\frac{N}{2}} - x^{\frac{N}{2}}}{1 - e^{-2\pi i \frac{m}{N}}} = 0 & \text{se $e^{-2\pi i \frac{m}{N}} \ne 1$}\\
(\frac{N}{2} - 1 + \frac{N}{2} + 1) = N & \text{se $e^{-2\pi i \frac{m}{N}} = 1$}
\end{cases}}
\end{equation}

[Littlejacob26]

Si, grazie mille
Avevo completamente ignorato il caso x=1