Risoluzione equazioni nel campo complesso

[mau21]

Buon pomeriggio, come scritto in oggetto vorrei porvi un quesito in merito alla risoluzione di equazioni in $CC$:
in forma trigonometrica/esponenziale si possono trattare le equazioni in cui è presente una condizione sulla parte reale o immaginaria? Se sì in che modo?
Ad esempio:
$z^2+iIm(z)+2zc$ (zc=z coniugato, scusate ma non ho capito come si scrive...).
Più specificamente, come si traducono $Re(z)$ e $Im(z)$ in forma trigonometrica/esponenziale?
Grazie mille!
P.S. So che l'equazione che ho presentato di potrebbe risolvere benissimo in forma algebrica ma ho aperto questo topic solo per chiedere informazioni riguardo alle altre due forme di un numero complesso, non per sapere come risolvere nella maniera più agevole quell'equazione.
Grazie ancora!

[Mephlip]

Per il coniugato, basta che metti una barra sopra: \(\overline{z}\), vedi il codice qui sotto:

Moderatore: Mephlip

\overline{z}

Per quanto riguarda la domanda, pensala geometricamente. Prendi un punto \(z=\left(\Re(z),\Im(z)\right)\) sul piano complesso. Chi sono, geometricamente relativamente alla trigonometria, \(\Re(z)\) e \(\Im(z)\)?

[mau21]

Grazie per l'aiuto Mephlip!
In teoria, considerando un numero complesso $z=re^(itheta)$ dovrebbe risultare:
$Re(z)=(re^(itheta))/cos(theta)$
e
$Im(z)=(re^(itheta))/sin(theta)$.
Tuttavia non credo che in questa forma sia utilizzabile (considerando per esempio l'equazione che ho postato prima), quindi diciamo che, in generale, un'equazione che contiene $Re(z)$ e $Im(z)$ va risolta in forma algebrica, ho ragione?
Grazie ancora!

[pilloeffe]

Ciao mau21,

[...] risoluzione di equazioni in $\CC $:
in forma trigonometrica/esponenziale si possono trattare le equazioni in cui è presente una condizione sulla parte reale o immaginaria? Se sì in che modo?
Ad esempio:
$ z^2+iIm(z)+2zc $ (zc=z coniugato, scusate ma non ho capito come si scrive...).

Per prima cosa volevo farti notare che quella che hai scritto non è un'equazione, per il semplice motivo che manca l'uguale...
Intuisco che volessi scrivere $z^2 +i\text{Im}(z)+2\bar{z} = 0 $

Codice:

$z^2 +i\text{Im}(z)+2\bar{z} = 0 $


Ciò premesso, si ha:

$z = x + iy = \text{Re}(z) + i \text{Im}(z) = \rho e^{i \theta} = \rho cos\theta + i \rho sin\theta $

In genere però conviene passare alla forma esponenziale se ci sono dei prodotti, non se ci sono delle somme come nel tuo caso:

$z^2 +i\text{Im}(z)+2\bar{z} = 0 $

Si vede ad occhio che $z = 0 $ è una soluzione. Per trovare le altre $3$ conviene di gran lunga passare alla forma algebrica $ z = x + i y \implies \bar{z} = x - i y$:

$x^2 + 2ixy - y^2 + iy + 2x - 2i y = 0 $

$x^2 - y^2 + 2x = iy - 2ixy $

$x^2 - y^2 + 2x = iy(1 - 2x) $

Dato che il primo membro è reale, perché lo sia anche il secondo non può che essere $y = 0 $ o $x = 1/2 $:
1) per $ y = 0$ si ottiene l'equazione $x^2 + 2x = 0 $ che ha le due soluzioni $x_1 = 0 \implies z_1 = 0 $ e $x_2 = - 2 \implies z_2 = - 2 $ (due soluzioni reali);
2) per $ x = 1/2 $ si ha l'equazione $ 1/4 - y^2 + 1 = 0 \implies y_{3,4} = \pm \sqrt5/2 $ da cui le due soluzioni complesse coniugate $z_3 = (1 + i\sqrt5)/2 $ e $z_4 = (1 - i\sqrt5)/2 $