Ciao m4tild3,
La serie numerica proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n! 2^n)/\sqrt((2n)!) $
Per tale serie falliscono sia il
Criterio del rapporto che il
Criterio della radice, ma si ha:
$\lim_{n \to +\infty} (n! 2^n)/\sqrt((2n)!) = \lim_{n \to +\infty} (n! 2^n)/\sqrt(n! 2^n(2n - 1)!!) = \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n!} 2^{n/2})/\sqrt((2n - 1)!!) = $
$ = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{n! 2^n}{(2n - 1)!!}} = +\infty $
ove si è fatto uso della relazione
$(2n - 1)!! = ((2n)!)/(n! 2^n) \implies (2n)! = n! 2^n(2n - 1)!! $
Dato che $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty $ la serie proposta non soddisfa la
Condizione necessaria di convergenza di Cauchy ed essendo a termini positivi è giocoforza positivamente divergente.
m4tild3 ha scritto:non è possibile procedere diversamente?
Sì, facendo uso del "famoso"
Criterio del logaritmo:
$\lim_{n \to +\infty} log_n a_n = \lim_{n \to +\infty} log_n [(n! 2^n)/\sqrt((2n)!)] = \lim_{n \to +\infty} log_n [2^{n/2} \sqrt{\frac{n!}{(2n - 1)!!}}] = $
$ = \lim_{n \to +\infty} log_n [\sqrt{\frac{n! 2^n}{(2n - 1)!!}}] = 1/2 \cdot \lim_{n \to +\infty} log_n[\frac{n! 2^n}{(2n - 1)!!}] = 1/4 > 0 $
Il risultato del limite è positivo e quindi non appartenente all'intervallo $[-\infty, - 1) $, pertanto la serie proposta non converge e dato che è a termini positivi non può che essere positivamente divergente.