studio carattere di una serie numerica

[m4tild3]

ciao a tutti, ho riscontrato dei problemi nella risoluzione di un esercizio che chiede lo studio del carattere di una serie numerica. la serie è questa
(n!)(2^n)/{[(2n)!]^1/2}
da n=1 a +infinito
applicando il criterio del rapporto risulta 1, per cui bisogna procedere diversamente
se non sbaglio il termine generale non è infinitesimo e ciò basterebbe per affermarne la divergenza, essendo a segno costante, ma in che modo???

[Mephlip]

Ciao m4tild3, benvenuta sul forum!

Non sbagli: la serie non converge in quanto il termine generale non tende a \(0\) (in particolare, tende a \(+\infty\)) e dunque, essendo una serie a termini positivi, l'unica possibilità rimasta è che diverga a \(+\infty\).

Basta ad affermarne la divergenza perché si dimostra che in tal caso si ha divergenza: facciamolo vedere per una serie generica a termini positivi. Supponiamo \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) tale che \(a_n>0\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\) (in realtà, basterebbe supporla definitivamente a termini positivi) e supponiamo che \(a_n \to l > 0\) per \(n \to +\infty\); dimostriamo che la serie \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) diverge.

Sia \(M>0\) arbitrario. Per ipotesi \(a_n \to l >0\) per \(n\to+\infty\), quindi esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che se \(n \ge N\) allora \(a_n>l/2\). Perciò, se \(k>\text{max}\left(N,2M/l+N-1\right)\), si ha:\[
\sum_{n=0}^k a_n \ge \sum_{n=N}^k a_n \ge \sum_{n=N}^k \frac{l}{2}=\frac{l}{2}\left(k-\left(N-1\right)\right)>M
\]
Ossia:\[
\lim_{k \to +\infty}\sum_{n=0}^k a_n =+\infty
\]
Che significa:\[
\sum_{n=0}^\infty a_n =+\infty
\]
Il caso in cui \(l=+\infty\) è molto simile: si può infatti dimostrare che esiste \(N_0\in\mathbb{N}\) tale che se \(n \ge N_0\) allora \(a_n>1\) e quindi basta prendere \(k>\text{max}\left(N_0,M+N_0-1\right)\).

Qui puoi trovare un tutorial per scrivere con le formule del forum: è obbligatorio impararle . Buona permanenza!

[m4tild3]

grazie per il link vado subito a leggere!
so che andrebbe fuori topic, non so se posso chiedere qui, ma come faccio a risolvere quel limite? mi verrebbe in mente gli ordini di infiniti ma non mi viene immediato

[Mephlip]

Prego! Intendi:\[
\lim_{n \to +\infty} \frac{n!2^n}{\left[(2n)!\right]^{1/2}}
\]questo limite? In questo caso, non è propriamente off-topic. È collegato allo studio del carattere della serie, possiamo discuterne tranquillamente qui.

Un consiglio stilistico riguardo l'esposizione: i limiti si calcolano, non si risolvono.

[m4tild3]

si quel limite, e grazie per il consiglio

[Mephlip]

Hai studiato l'approssimazione di Stirling?

[m4tild3]

in realtà no, ma suppongo che se non c’è altra via dovrei approfondire. non è possibile procedere diversamente?

[Mephlip]

Ok, te l'ho chiesto perché non sempre si vede durante i corsi di analisi introduttivi: sì, ci sono altri modi. Uno, per esempio, è quello di procedere con il teorema del confronto e quindi cercare qualche disuguaglianza che permetta di ottenere una stima dal basso (perché vogliamo dimostrare che tende a \(+\infty\)).

Bisognerebbe conoscere qualche disuguaglianza sui fattoriali. Sarebbe buono vedere se si riesce a stimare \(1/\left[(2n)!\right]^{1/2}>b_n\) per una qualche successione \(b_n\) tale che \(\lim_{n \to +\infty} \left(n!2^n/b_n\right)=+\infty\). Che disuguaglianze hai visto durante il corso che coinvolgono il fattoriale?

[m4tild3]

in realtà ho sempre utilizzato il confronto tra infiniti quando si trattava solo di calcolo di limiti, o criterio del rapporto nel caso di serie… mi trovo un po’ spiazzata… comunque anche se è qualcosa di nuovo mi piacerebbe approfondire !!

[pilloeffe]

Ciao m4tild3,

La serie numerica proposta è la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} a_n = \sum_{n = 1}^{+\infty} (n! 2^n)/\sqrt((2n)!) $

Per tale serie falliscono sia il Criterio del rapporto che il Criterio della radice, ma si ha:

$\lim_{n \to +\infty} (n! 2^n)/\sqrt((2n)!) = \lim_{n \to +\infty} (n! 2^n)/\sqrt(n! 2^n(2n - 1)!!) = \lim_{n \to +\infty} (\sqrt{n!} 2^{n/2})/\sqrt((2n - 1)!!) = $

$ = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{n! 2^n}{(2n - 1)!!}} = +\infty $

ove si è fatto uso della relazione

$(2n - 1)!! = ((2n)!)/(n! 2^n) \implies (2n)! = n! 2^n(2n - 1)!! $

Dato che $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty $ la serie proposta non soddisfa la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy ed essendo a termini positivi è giocoforza positivamente divergente.

non è possibile procedere diversamente?

Sì, facendo uso del "famoso" Criterio del logaritmo:

$\lim_{n \to +\infty} log_n a_n = \lim_{n \to +\infty} log_n [(n! 2^n)/\sqrt((2n)!)] = \lim_{n \to +\infty} log_n [2^{n/2} \sqrt{\frac{n!}{(2n - 1)!!}}] = $

$ = \lim_{n \to +\infty} log_n [\sqrt{\frac{n! 2^n}{(2n - 1)!!}}] = 1/2 \cdot \lim_{n \to +\infty} log_n[\frac{n! 2^n}{(2n - 1)!!}] = 1/4 > 0 $

Il risultato del limite è positivo e quindi non appartenente all'intervallo $[-\infty, - 1) $, pertanto la serie proposta non converge e dato che è a termini positivi non può che essere positivamente divergente.