Sì hai ragione nello scritto "a macchina" scrive quella cosa. Però nello scritto a penna scriveva solo xi senza valutazione alcuna (se guardi sopra). Quello mi confondeva perché non solo la notazione è stramba, ma nella slide scritta a mano se noti non valuta la coordinata in nessun punto
Infatti il tuo prof è un po' pasticcione, nelle dispense non usa il grassetto, poi ha definito male la funzione $g$ mentre nelle slide le scrive correttamente. Al netto di tutte le chiacchiere cerca solo di capire che una derivazione puntuale non è una derivata altrimenti non avrebbe un nome diverso. Però non scervellarti troppo sui germi e le classi di equivalenza perché alla fine lavori sempre con delle funzioni che rappresentano la classe. La cosa importante è calcolare la derivata e valutarla nel punto per ottenere un risultato numerico, che è proprio ciò che si richiede ad una derivazione puntuale. Tra l'altro il tuo prof scrive derivazione in luogo di derivazione puntuale e secondo me è impreciso perché sono due concetti diversi.
Infine non è la coordinata ad essere valutata ma la funzione lineare $z=x_i$ che puoi visualizzare (il grafico intendo) almeno nel caso bidimensionale come dei piani per l'origine.
