Derivazione non compresa

[aspesi]

Buonasera, vorrei chiedere un aiuto riguardo questo passaggio



Che rimane per me incomprensibile, qualcuno saprebbe darmi una mano? Lo ringrazierei molto

[Brufus]

Se $x \in \mathbb R^n$ allora distinguilo con $\mathbf x$ ovverosia $\mathbf x=(x_1,x_2,....,x_n)$ dove $x_i \in \mathbb R$.
Allora applicando il teorema di derivazione di funzione composta $\frac{d}{dt}f(\mathbf x(t))= \frac{\partial}{\partial x_1}f(\mathbf x(t)) \cdot \frac{d}{dt} x_1(t)+.......+\frac{\partial}{\partial x_n}f(\mathbf x(t)) \cdot \frac{d}{dt} x_n(t) $
Ora nel tuo caso $\mathbf x(t)=\mathbf x \star t$ dove la stella rappresenta la moltiplicazione tra scalare e vettore nello spazio vettoriale cioè $\mathbf x(t)=\mathbf x \star t=(t\cdot x_1,.......,t\cdot x_n)$.
Adesso prova a rileggere quella formula scritta in modo pressapochista dall'autore senza indicare in grassetto i vettori numerici e tutto dovrebbe chiarirsi

[aspesi]

Temo di non esserci ancora, perché se fosse come dici tu non dovrebbe esserci una sommatoria?

[pilloeffe]

Ciao aspesi,

Dipende, potrebbe essere stata usata la convenzione di sommatoria di Einstein sugli indici ripetuti...
Posso chiederti che testo stai usando, quale esame stai preparando ed in quale ateneo?

[aspesi]

Eh ahimé sono dispense del prof in un corso di geometria differenziale applicata.
Dubitavo usasse la sommatoria di Einstein, sebbene io la conosca il Prof non ne ha mai fatto uso infatti (però magari ha pensato bene di farne uso qui senza dirlo)¹.

L'unica cosa che potrei integrare è il pezzo di lezione relativo:



Ma non mi pare molto più eloquente (a parte che non capisco l'utilità di esplicitare il punto in cui derivo )

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Note

1. più che altro non la sospettavo da un geometra , ma a questo punto sarà così ↑

[Brufus]

Ma non mi pare molto più eloquente (a parte che non capisco l'utilità di esplicitare il punto in cui derivo )

No no aspetta un secondo. Se stiamo parlando di geometria differenziale questo passaggio è fondamentale. Se stiamo parlando di derivazioni puntuali definite nello spazio tangente $T_x X$ allora parliamo di generiche derivazioni $v$ che agiscono sui germi di funzione $[f] \in C_x^infty (X,\mathbb R)$ per le quali vale assiomaticamente la regola di Leibniz.
Nel caso $X=\mathbb R^n$ allora un esempio di derivazione puntuale definita in $T_\tilde x \mathbb R^n$ è data da $v= \frac{\partial}{partial x_1}|_\tilde x +.$ $.....$ $+\frac{\partial}{partial x_1}|_\tilde x$

Ora io credo che le dispense siano scritte male(come quasi sempre accade). Nella fattispecie io interpreto così:

$f(\mathbb x)-f(\mathbb 0)= \int_0^1 \frac{d}{dt} f (\mathbb x(t))dt$ dove per noi $\mathbb x(t)= \mathbb x \star t$ quindi $f(\mathbb x)-f(\mathbb 0)= \int_0^1\frac{\partialf( \mathbb x(t)) }{partial x_1}\cdot \frac{d}{dt}x_1(t)+....+ \frac{\partial f( \mathbb x(t)) }{partial x_n}\cdot \frac{d}{dt}x_n(t) dt= $
$= \int_0^1\frac{\partial f( \mathbb x(t)) }{partial x_1}\cdot x_1+....+ \frac{\partial f( \mathbb x(t) )}{partial x_n}\cdot x_n dt=$
$=x_1 \cdot\int_0^1\frac{\partial f( \mathbb x(t)) }{partial x_1}dt+....+x_n\cdot\int_0^1 \frac{\partial f( \mathbb x(t)) }{partial x_n} dt$
ora poniamo per definizione $ g_i(\mathbb x)=\int_0^1\frac{\partial f( \mathbb x(t)) }{partial x_i}dt$ e allora avremo
$f(\mathbb x)-f(\mathbb 0)= \int_0^1 \frac{d}{dt} f (\mathbb x(t))dt= x_1 \cdot g_1(\mathbb x)+....x_n \cdot g_n(\mathbb x)$

Adesso bisogna stare attenti perché se vogliamo usare una derivazione puntuale non possiamo darle in pasto una funzione bensì un germe di funzione. Quindi secondo la mia interpretazione personalissima prima di tutto bisogna quozientare e passare nello spazio dei germi $C_0^infty (\mathbb R^n ,\mathbb R)$ ottenendo
$[f(\mathbb x)]-[f(\mathbb 0)]= [x_1] \cdot [g_1(\mathbb x)]+....[x_n]\cdot[ g_n(\mathbb x)]$
A questo punto applico una derivazione generica $D \in T_0 \mathbb R^n$ ottenendo
$D([f(\mathbb x)])=D([f(\mathbb 0)])+D( [x_1] \cdot [g_1(\mathbb x)])+....D([x_n]\cdot[ g_n(\mathbb x)])$ e poi basta applicare Leibniz.
Pertanto io sospetto che l'autore delle dispense intenda con la sua notazione $[x_i]=x_i|_0$

[aspesi]

Ah ecco, con la tua spiegazione mi sembra finalmente comprensibile quel passaggio.

Volevo chiederti solo 3 chiarimenti:

1-

bisogna quozientare e passare nello spazio dei germi $C_0^infty (\mathbb R^n ,\mathbb R)$ ottenendo
$[f(\mathbb x)]-[f(\mathbb 0)]= [x_1] \cdot [g_1(\mathbb x)]+....[x_n]\cdot[ g_n(\mathbb x)]$

perché quozientando sono sicuro che mi rimanga $[f(\mathbb x)]-[f(\mathbb 0)]= [x_1] \cdot [g_1(\mathbb x)]+....[x_n]\cdot[ g_n(\mathbb x)]$?
cioè che quozientando si mantiene la differenza tra germi quozienti? Così come i prodotti ecc?


2- Ma quando scrivi

Nel caso $X=\mathbb R^n$ allora un esempio di derivazione puntuale definita in $T_\tilde x \mathbb R^n$ è data da $v= \frac{\partial}{partial x_1}|_\tilde x +.$ $.....$ $+\frac{\partial}{partial x_1}|_\tilde x$

intendi Nel caso $X=\mathbb R^n$ allora un esempio di derivazione puntuale definita in $T_\tilde x \mathbb R^n$ è data da $v= [\frac{\partial}{partial x_1}] +.$ $.....$ $+[\frac{\partial}{partial x_1}]$ anche qui? non ho capito.


3- Però se noti quando scrive $|_0$ lo usa solo sulla derivata (come se derivasse in un punto) mentre non scrive mai $[x_i]=x_i|_0$.

[Brufus]

perché quozientando sono sicuro .....

Quando hai un insieme $\color [red]X$ con una certa operazione definita in esso ,chiamiamola ad esempio , $\color [red] +$ ( immagina ad esempio un gruppo abeliano )e una relazione di equivalenza $\rho$ tra gli elementi di $\color [red] X$ allora puoi definire l'insieme quoziente $\color [green]{ \frac{X}{\rho}=Y}$ i cui elementi verranno denotati $\color [green] {[x]}$ .ovviamente se $\color [red]{x_1 \rho x_2}$ la classe di equivalenza sarà la stessa cioè $\color [green]{[x_1]=[x_2]$. Allora in $\color [green] Y$ si definisce l'operazione $\color [green]+$ in questo modo : $\color [green]{ [x] +[y]= [\color [red]{x+y}]}$. Ora bisogna stare attenti perché questa definizione dipende dai rappresentanti e di volta in volta bisogna far vedere che tale operazione è ben definita, cioè che non dipende da essi. Nel caso dello spazio dei germi si procede in questo modo ,e per nostra fortuna lo spazio quoziente dei germi è un 'algebra (cioè uno spazio vettoriale costruito su un anello anziché un gruppo) quindi quelle operazioni sono ben definite ( perché appunto si dimostra).Quindi quando decidi di passare da una somma di elementi in $\color [red]X$ ad una somma in $\color [green]Y$ basta mettere le quadre .

Ma quando scrivi.....

No no.... quando parliamo di derivazione puntuale questo è un oggetto astratto che vive in un insieme astratto chiamato spazio tangente alla varietà in un punto. Tuttavia se scegliamo la varietà differenziabile $X$ proprio uguale ad $\mathbb R^n$ allora una derivazione puntuale diventa nel concreto proprio una derivata direzionale valutata nel punto in questione.

Però se noti quando scrive ....

Veramente lui scrive $x_i|_0$ che francamente non mi sembra sia una derivata valutata in zero, piuttosto mi sembra la coordinata $x_i$ valutata in zero , cosa del tutto priva di senso. Io invece credo che con questa notazione disastrosa lui intenda il germe della funzione $x_ i$ in zero.

[Brufus]

Veramente lui scrive xi∣0 che francamente non mi sembra sia una derivata valutata in zero, piuttosto mi sembra la coordinata xi valutata in zero , cosa del tutto priva di senso. Io invece credo che con questa notazione disastrosa lui intenda il germe della funzione xi in zero.

Mi devo correggere, ho scritto una cosa inesatta. Una derivazione puntuale deve restituire un valore in $\mathbb R$ allora quando applichiamo Leibniz abbiamo $D([x_i]\cdot[g_i(\mathbb x)])=D([x_i])\cdot [g_i (mathbb x)]_0+ [x_i]_0 \cdot D([g_i(\mathbb x)])$ dove effettivamente i germi non derivati devono essere valutati nel punto base altrimenti non otterremo un risultato numerico. Tuttavia non è la funzione rappresentante $x_i$ ad essere valutata nell'origine ma la sua classe d'equivalenza (cioè il germe) $[x_i]$. Ovviamente le due cose coincidono nella sostanza perché valutare la classe significa valutare un qualsiasi rappresentante nell'origine.
Quindi il tuo prof con la scrittura $x_i|_0$ intende $[x_i]_0$ . Ti faccio notare che se consideriamo lo spazio dei germi in $x$ cioè $C_x^\infty (X, \mathbb R)$ allora avrà senso valutare un germe $[f]$ esclusivamente in $x$ perché qualsiasi rappresentante di $[f]$ non coinciderà mai con tutti gli altri valutandolo in un punto $\tilde x \ne x$

[aspesi]

Ok mi sembra tutto chiaro. Purtroppo in questo corso ci sono delle magagne ossia che è fatto a dei fisici che non hanno mai visto algebra I, quindi mi sono dovuto un po' recuperare i concetti di quozientazione, algebra ecc (personalmente mai visti nei corsi prima) nel frattempo e con la tua risposta mi ci ritrovo ora.

Veramente lui scrive $x_i|_0$ che francamente non mi sembra sia una derivata valutata in zero, piuttosto mi sembra la coordinata $x_i$ valutata in zero , cosa del tutto priva di senso. Io invece credo che con questa notazione disastrosa lui intenda il germe della funzione $x_ i$ in zero.

Sì hai ragione nello scritto "a macchina" scrive quella cosa. Però nello scritto a penna scriveva solo $x_i$ senza valutazione alcuna (se guardi sopra). Quello mi confondeva perché non solo la notazione è stramba, ma nella slide scritta a mano se noti non valuta la coordinata in nessun punto