Dominio semplice rispetto ad una variabile

[Martyyyns]

Ciao a tutti
Sto provando a calcolare l'integrale doppio:
$ int int_(D) xy dx dy $
con D il dominio in figura:





Ho già risolto l'integrale una volta considerando il dominio semplice rispetto a y.
Per capire che il dominio fosse semplice rispetto ad y geometricamente, ho tracciato delle rette parallele all'asse y. Esse intersecate con l'area racchiusa dal dominio D formano solo segmenti singoli. (Scusate i termini poco appropriati ma è l'unico modo in cui riesco a capire la definizione).

Mi è venuta la curiosità di calcolare lo stesso integrale considerando però il dominio semplice rispetto a x. Ma non riesco a venirne a capo.
Prima di tutto: 1) E' davvero semplice rispetto a x? Perchè ad esempio tracciando la retta y=0 ho qualche dubbio? va considerata? di fatto non so se rispetta la definizione quest'ultima.
2) come potrei esprimere x in funzione di y per quanto riguarda questa semicirconferenza? E' possibile farlo?

[pilloeffe]

Ciao Martyyyns,

2) come potrei esprimere x in funzione di y per quanto riguarda questa semicirconferenza?

Beh, l'equazione della circonferenza è $(x - 2)^2 + y^2 = 1 \implies x - 2 = \pm \sqrt{1 - y^2} $ sicché si può scrivere $x = 2 \pm \sqrt{1 - y^2} $, quindi il valore di $x$ non è unico, al contrario di quello di $y$, perché per la semicirconferenza in esame si può scrivere $y = +\sqrt{1 - (x - 2)^2} $...

[Martyyyns]

Ecco infatti non mi trovavo proprio. Questo mi dice in qualche modo che il dominio non è semplice rispetto a x dunque? E per quanto riguarda la cosa del segmento, ci ho preso?

[pilloeffe]

Questo mi dice in qualche modo che il dominio non è semplice rispetto a x dunque?

La definizione non è univoca, ma diciamo che la situazione è questa:
https://it.wikipedia.org/wiki/Dominio_semplice

E per quanto riguarda la cosa del segmento, ci ho preso?

Non mi è ben chiaro cosa tu intenda per "la cosa del segmento", ma ad occhio direi di sì...