volume racchiuso nel solido

[_ester_]

Salve, ho qualche difficoltà con questo problema: trovare il volume contenuto in $T={(x,y,z)| (x-2)^2+y^2<=z<=8-4x}$.

T è z-normale, e $(x,y)$ sono tali che $(x-2)^2+y^2<=8-4x$. Uso il cambio di variabili
$x=2+\rho cos \theta$
$y=\rho sin \theta$,
$dxdy=\rho d\rho d \theta$, quindi $\rho^2=(x-2)^2+y^2<=8-4x=-\rho cos\theta$ cioè $\rho<=-cos \theta$ per cui $\rho \in (0,cos\theta), \theta \in [0,2pi]$.

Quindi avrei
$V=int_0^(2pi)int_0^(-cos theta)rho(-rho cos theta-rho^2)d rho d theta$.

A livello di impostazione va bene?

[pilloeffe]

Ciao _ester_,

C'è qualcosa che non mi torna, perché se $\rho(\rho + cos\theta) <= 0 $ essendo $\rho \ge 0 $ l'unica possibilità che rimane è che sia $ 0 \le \rho \le - cos\theta \implies cos\theta \le 0 $ e dato che poi ovviamente deve anche essere $- 1 \le cos\theta \le 1 $ allora $- 1 \le cos\theta \le 0 \iff \pi/2 \le \theta \le (3\pi)/2 $

Se non ho fatto male i conti $V = \pi/32 $

[_ester_]

$- 1 \le cos\theta \le 0 \iff \pi/2 \le \theta \le (3\pi)/2 $

il passaggio è chiaro, ma non dovrebbe essere $\pi \le \theta \le (3\pi)/2$?

Se non ho fatto male i conti $V = \pi/32 $

in realtà il risultato sulla dispensa è $8pi$, però utilizza un'altra via, perciò avevo il dubbio che la mia impostazione non andasse bene. per quanto riguarda i conti li rivedrò daccapo domani. grazie mille

[pilloeffe]

il passaggio è chiaro, ma non dovrebbe essere $π \le \theta \le (3\pi)/2 $?

Perché? Hai presente il cerchio trigonometrico? Per quale intervallo il coseno è negativo o al più nullo?
Poi mi sa che è sbagliato qui: $8 - 4x = 8 - 4(2 + \rho cos\theta) = - 4\rho cos\theta $ per cui la disequazione corretta è $\rho(\rho + 4cos\theta) \le 0 $ e dunque $\rho \in [0, - 4 cos\theta] $ ed in effetti si ha:

$V = \int_{\pi/2}^{(3\pi)/2} \int_0^{- 4 cos\theta} \rho(-4\rho cos\theta - \rho^2)\text{d}\rho \text{d}\theta = 8\pi $

[_ester_]

Sì certo, dopo aver fatto e rifatto l'esercizio non ci capisco più niente Grazie di nuovo dell'aiuto

[pilloeffe]

Grazie di nuovo dell'aiuto

Prego!

in realtà il risultato sulla dispensa è $8\pi $, però utilizza un'altra via

Immagino che l'altra via sia la seguente:

$V = \int \int \int_T \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int_{-2}^2 \text{d}x \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} \text{d}y \int_{(x-2)^2+y^2}^{8 - 4x} \text{d}z = \int_{-2}^2 \text{d}x \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} [8 - 4x - (x - 2)^2 - y^2] \text{d}y =$

$ = \int_{-2}^2 \text{d}x \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} [8 - 4x - x^2 + 4x - 4 - y^2] \text{d}y = \int_{-2}^2 \text{d}x \int_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} [4 - x^2 - y^2] \text{d}y = $

$ = \int_{-2}^2 [(4 - x^2)(2\sqrt{4 - x^2}) - [y^3/3]_{-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}}] \text{d}x = \int_{-2}^2 [2(\sqrt{4 - x^2})^3 - 2/3 (\sqrt{4 - x^2})^3] \text{d}x = $

$ = \int_{-2}^2 [4/3 (\sqrt{4 - x^2})^3] \text{d}x = 4/3 \int_{-2}^2 (4 - x^2)^{3/2} \text{d}x = 8\pi $

ove l'ultimo integrale scritto si può risolvere ponendo $x := 2 sin t \implies \text{d}x = 2 cos t \text{d}t $

[_ester_]

in realtà no, a partire dalla disequazione $(x-2)^2+y^2<=8-4x$, sviluppando i conti ottiene $x^2+y^2<=4$. dopodiché passa a coordinate polari con centro l'origine

[pilloeffe]

Sì certo, anche in questo modo: lo si vede bene dall'ultimo integrale della seconda riga del mio post precedente.
Avevo interpretato il tuo "per un'altra via" come "senza fare uso delle coordinate polari".
Beh, meglio così: adesso sei in grado di risolvere l'integrale proposto in tre modi diversi...

[_ester_]

Infatti!!