studio carattere di una serie numerica

[m4tild3]

Ciao! potreste aiutarmi a studiare il carattere della seguente serie?
$\sum_{n=1}^infty (-1)^n 1/e(1+1/n)^ (n^2) $
L’assoluta convergenza non aiuta in quando la serie dei valori assoluti diverge (studio il limite utilizzando il limite notevole)… rimane il criterio di Leibniz, ma non capisco se le ipotesi sono verificate, in particolare se è decrescente
Grazie in anticipo

[pilloeffe]

Ciao m4tild3,

rimane il criterio di Leibniz, ma non capisco se le ipotesi sono verificate, in particolare se è decrescente

No, le ipotesi non sono verificate, infatti $\forall n \ge 1 $ si ha $a_{n + 1} > a_n $: la serie proposta è divergente.

[m4tild3]

come faccio a dimostrare che è crescente?
e poi, dato che è crescente, ed è a termini positivi, per il corollario di Leibniz non dovrebbe oscillare?

[pilloeffe]

ed è a termini positivi

Sicura?
O stai parlando della successione $a_n $? In quest'ultimo caso puoi usare delle maggiorazioni...

Comunque osserva che si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty $, mentre per convergere dovrebbe risultare $0$, un numero finito diverso da zero per essere oscillante.

[m4tild3]

scusami forse ho confuso, seguendo il tuo ragionamento e non potendo applicare Leibniz, come dimostreresti che la serie diverge?

[pilloeffe]

non potendo applicare Leibniz

Una delle ipotesi del Criterio di Leibniz è che risulti $\lim_{n to + \infty} a_n = 0 $, che per la serie proposta non è verificata perché risulta $\lim_{n to + \infty} a_n = +\infty $, quindi non hai bisogno di dimostrare che $a_n $ è decrescente (cosa che comunque è falsa); poi se si considera la sottosuccessione delle somme parziali pari si nota che è crescente e si ha $\lim_{n \to +\infty} s_{2n} = +\infty $, mentre la sottosuccessione delle somme parziali dispari si nota che è decrescente e si ha $\lim_{n to + \infty} s_{2n + 1} = -\infty $
Pertanto si conclude che la serie proposta è divergente.