Calcolo dell'area del dominio limitato da una curva

[Martyyyns]

Salve a tutti, vorrei chiedere conferma riguardo la risoluzione di un esercizio che prevede il calcolo dell'area del dominio limitato dalla curva $ gamma $ espressa in coordinate polari da:

$ rho = sqrt (2- sin (phi)) $ per $phi = [0, 2pi] $

La parametrizzazione della curva è quindi data da:

$ x(phi) = sqrt (2- sin(phi)) cos (phi) $

$ y(phi) = sqrt (2- sin(phi)) sin (phi) $

Il dominio è allora descritto da:

$ D= {(rho, phi) : 0<= rho <= sqrt (2- sin(phi)), 0<= phi <= 2pi $

Per calcolare l'area racchiusa allora si può calcolare l'integrale doppio della funzione 1 sul dominio D?

[pilloeffe]

Per calcolare l'area racchiusa allora si può calcolare l'integrale doppio della funzione 1 sul dominio D?

No... E se non devi per forza usare l'integrale doppio fai molto prima a fare così:

$D = \int_0^{2\pi} 1/2 \rho^2 \text{d}\phi = 1/2 \int _0^{2\pi} (2 - sin\phi) \text{d}\phi = 2 \pi $

Invece con l'integrale doppio:

$D = \int_0^{2\pi} [\int_0^{\sqrt{2 - sin\phi}}\rho \text{d}\rho] \text{d}\phi $

[Martyyyns]

da dove viene la formula con l'integrale doppio?

[pilloeffe]

Beh, è semplicemente

$\int \int_D \rho \text{d}\rho \text{d}\phi $

Se lo sviluppi ottieni esattamente la formula con l'integrale semplice che ti ho scritto per prima...

Potresti dare un'occhiata ad esempio qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_di_coordinate_polari

[Brufus]

Visto che hai la frontiera di $D$ parametrizzata potresti usare direttamente Stokes.
$\oint_{\partial D^+} \omega=\int_D \nabla \times \vec F dS$
Dove per esempio prendi $\vec F(x,y)=(0,x)$ ottenendo quindi
$\oint_{\partial D^+}x dy =\int_D dS$ ovverosia
$int_0^{2\pi} \sqrt{2-\sin t}\cdot \cos t \cdot y'(t) dt=\int_D dS $ ovverosia
$int_0^{2\pi} \sqrt{2-\sin t}\cdot( \cos t)^2 \cdot (\frac{\sin t}{2\cdot\sqrt{2-\sin t} }+ \sqrt{2-\sin t}) dt=\int_D dS $ ovverosia
$2\pi=\int_D dS$