Punti interni e punti di accumulazione

[HowardRoark]

Considero l'insieme $C = A uu B$, dove:
$A = {x in RR : 0<=x<2}$
$B = {x in RR : x = 2 + 1/n; n in NN \ {0}}$.

Nel libro si afferma che i punti interni di $C$ sono $(0,2)$.
Per definizione, un punto si dice interno all'insieme quando appartiene all'insieme ed esiste un suo intorno completo contenuto nell'insieme. Siccome i punti di $B$ sono tutti isolati, questo implica che non esistano intorni completi tutti contenuti in $B$? Però questo vale per ogni punto isolato, e quindi i punti isolati sono sempre esterni all'insieme?

[HowardRoark]

Provo a rispondermi da solo: un punto interno di un insieme è un punto che deve necessariamente appartenere all'insieme, mentre un punto di accumulazione può anche non appartenervi, quindi una differenza tra punto interno e punto di accumulazione mi sembra sia questa. Un'altra differenza è che l'interno dei punti di un insieme è sempre un intervallo aperto: ad esempio l'interno di $C$ è $(0,2)$ mentre l'insieme dei punti di accumulazione può essere un intervallo chiuso (sempre per rimanere nell'esempio, l'insieme dei punti di accumulazione di $C$ è $[0,2]$. Affinché la def. di punto interno sia rispettata, l'intorno del punto deve essere tutto contenuto in $C$, e quindi ad esempio $2$ non è un punto interno perché $1,9<x<2,1$ non è tutto contenuto in $C$ (non esiste nessun intorno di $2$ tutto contenuto in $C$), però $2$ è di accumulazione perché per ogni intorno del punto è possibile trovare punti $in C$ che sono contenuti nell'intorno, diversi da $2$.
Ora credo di essermi schiarito un po' le idee


Ovviamente correggetemi se ho scritto delle sciocchezze.

[pilloeffe]

Ciao HowardRoark,

Prova a dare un'occhiata a questo thread.

[HowardRoark]

Ciao HowardRoark,

Prova a dare un'occhiata a questo thread.

Quindi se un sottoinsieme $E$ di $RR$ è privo di punti di accumulazione, $E$ non ha punti interni? Per le considerazioni che ho fatto prima questa mi sembra vera.

[pilloeffe]

Dai un'occhiata a questo breve materiale didattico (non so di chi sia) della Federico II di Napoli.