Zero di funzione parametrica

[Creyxen]

Buongiorno a tutti, sto riscontrando alcuni problemi nella risoluzione del seguente problema:
Si consideri la seguente equazione non lineare
$sqrt(x-1)-e^(ax)=0$
dipendente dal parametro a. Determinare i valori di a per i quali l'equazione ammette radici reali.
Non so bene come muovermi dopo aver determinato il dominio. Sapreste aiutarmi?

[pilloeffe]

Ciao Creyxen,

Benvenuto sul forum!

Puoi procedere così:

$ \sqrt(x-1) = e^(ax) $

$ln\sqrt(x-1) = ax $

$ln\sqrt(x-1)/x = a $

${(y = ln\sqrt(x-1)/x),(y = a):} $

Quindi devi studiare la funzione $y = ln\sqrt(x-1)/x $ e vedere quando si interseca con la retta orizzontale di equazione $y = a $

[@melia]

Dopo aver scritto l'equazione
$sqrt(x-1)=e^(ax)$
devi cercare di disegnare separatamente le due funzioni $y=sqrt(x-1)$ e $y=e^(ax)$
La prima è un banale arco di parabola. Per la seconda puoi rappresentare la funzione esponenziale per $a<0$, $a=0$ e alcuni casi con $a>0$, dai grafici ottenuti poi osservi che
per $a<0$ c'è sempre un'intersezione $1<x<2$
per $a=0$ l'esponenziale diventa la retta orizzontale $y=1$ e l'intersezione è nel punto $(2;1)$
per $a>0$ ci sono diversi casi perchè all'inizio la curva esponenziale tagli la parabola in due punti, poi, verso il valore $a~~0.15$ le due curve diventano tangenti e per $a$ maggiore di tale valore non si intersecano più

[Creyxen]

Perfetto tutto chiaro, grazie mille delle risposte!!

[pilloeffe]

Determinare i valori di a per i quali l'equazione ammette radici reali.

Sono contento che in qualche modo tornino di moda questi problemi che risolvevo più di mezzo secolo fa e comparivano in gran quantità sul mio libro di testo: Giuseppe Zwirner - complementi di algebra e nozioni di analisi matematica per i licei scientifici CEDAM - Padova

Riassumendo mi risulta quanto segue:

i) per $a \le 0 $ si ha una sola soluzione reale;

ii) per $0 < a < 1/2 W(1/e) ~~ 0,13923 $ si hanno due soluzioni reali e distinte;

iii) per $a = 1/2 W(1/e) $ si hanno due soluzioni reali coincidenti;

iv) per $a > 1/2 W(1/e) $ non si ha alcuna soluzione reale.

$W$ è la funzione di Lambert (questa però al liceo scientifico ancora non la conoscevo... )