Mephlip ha scritto:@curioso54: Sbagli a risolvere le disequazioni. Osserva che, tenendo conto che \(r>0\), si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [r^2 \le r^2+z^2<4] \implies [r^2<4] \implies [0 < r < 2]
\]E si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [z^2<r^2+z^2<4] \implies [z^2<4] \iff [ \ |z| < 2 \ ]
\]Per determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\), allora \(1-r^2>0\) e pertanto:\[
[1<r^2+z^2<4] \iff [1-r^2<z^2<4-r^2] \iff \left[\sqrt{1-r^2}<|z|<\sqrt{4-r^2}\right]
\]
Se invece \(1<r<2\), allora \(4-r^2>0\) e \(1-r^2<0\). Da quest'ultima, segue che \(z^2>1-r^2\) è vera per ogni \(z \in \mathbb{R}\) e quindi in questo caso si ha:\[
\left[1-r^2<z^2<4-r^2\right] \iff \left[z^2<4-r^2\right] \iff \left[ \ |z| < \sqrt{4-r^2} \right]
\]Ora, osserva che la funzione integranda e \(T\) sono pari in \(z\) (ossia, scambiando \(z\) con \(-z\) rimangono invariati sia funzione integranda sia insieme di integrazione), quindi l'integrale in esame è pari al doppio dell'integrale calcolato aggiungendo a \(T\) la condizione \(z>0\). Ma, con tale condizione aggiuntiva, è \(|z|=z\) e perciò le limitazioni su \(z\) sono \(\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}\) o \(0<z<\sqrt{4-r^2}\) per \(0<r<1\) o \(1<r<2\) rispettivamente.
Perciò, si ha:\[
\iiint_T \text{d}x\text{d}y\text{d}z=2 \cdot 2\pi \left[\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r+\int_1^2 \left(\int_0^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r\right]=\frac{28}{3}\pi
\]
In sostanza, il tuo errore è stato quello di trascurare delle condizioni aggiuntive su \(r\): hai dato per scontato che le condizioni di realtà delle radici fossero gli unici vincoli sull'intervallo in cui varia \(r\), ma ciò non è così (come puoi vedere nel passaggio "\(r^2<r^2+z^2<4\) implica \(0<r<2\)"). Per alcuni valori di \(0<r<2\), le limitazioni su \(z\) cambiano in accordo a quello che ho scritto su. In particolare, per alcuni valori ammissibili di \(r\) hai addirittura che \(1-r^2<0\) e quindi non puoi assolutamente estrarne la radice in questo contesto di analisi reale.
Se proprio non vuoi usare la parità su \(z\), basta ragionare similmente ma trovandosi in quell'inferno di casi che escono fuori dovendo considerare tutte le casistiche date dal valore assoluto su \(z\). Francamente, è un approccio decisamente masochista.
Grazie per la spiegazione, ma non ho ben capito come tiri fuori le due condizioni inerenti il raggio, il secondo passaggio. Ho ben tenuto conto della positività del raggio e del jacobiano (ci faccio sempre attenzione).
