@curioso54: Sbagli a risolvere le disequazioni. Osserva che, tenendo conto che \(r>0\), si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [r^2 \le r^2+z^2<4] \implies [r^2<4] \implies [0 < r < 2]
\]E si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [z^2<r^2+z^2<4] \implies [z^2<4] \iff [ \ |z| < 2 \ ]
\]Per determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\), allora \(1-r^2>0\) e pertanto:\[
[1<r^2+z^2<4] \iff [1-r^2<z^2<4-r^2] \iff \left[\sqrt{1-r^2}<|z|<\sqrt{4-r^2}\right]
\]
Se invece \(1<r<2\), allora \(4-r^2>0\) e \(1-r^2<0\). Da quest'ultima, segue che \(z^2>1-r^2\) è vera per ogni \(z \in \mathbb{R}\) e quindi in questo caso si ha:\[
\left[1-r^2<z^2<4-r^2\right] \iff \left[z^2<4-r^2\right] \iff \left[ \ |z| < \sqrt{4-r^2} \right]
\]Ora, osserva che la funzione integranda e \(T\) sono pari in \(z\) (ossia, scambiando \(z\) con \(-z\) rimangono invariati sia funzione integranda sia insieme di integrazione), quindi l'integrale in esame è pari al doppio dell'integrale calcolato aggiungendo a \(T\) la condizione \(z>0\). Ma, con tale condizione aggiuntiva, è \(|z|=z\) e perciò le limitazioni su \(z\) sono \(\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}\) ed \(0<r<1\) o \(0<z<\sqrt{4-r^2}\) ed \(1<r<2\) .
Perciò, si ha:\[
\iiint_T \text{d}x\text{d}y\text{d}z=2 \cdot 2\pi \left[\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r+\int_1^2 \left(\int_0^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r\right]=\frac{28}{3}\pi
\]
In sostanza, il tuo errore è stato quello di trascurare delle condizioni aggiuntive su \(r\): hai dato per scontato che le condizioni di realtà delle radici fossero gli unici vincoli sull'intervallo in cui varia \(r\), ma non è così (come puoi vedere nel passaggio "\(r^2<r^2+z^2<4\) implica \(0<r<2\)"). Per alcuni valori di \(0<r<2\), le limitazioni su \(z\) cambiano in accordo a quello che ho scritto su. In particolare, per alcuni valori ammissibili di \(r\) hai addirittura che \(1-r^2<0\) e quindi non puoi assolutamente estrarne la radice in questo contesto di analisi reale.
Se proprio non vuoi usare la parità su \(z\), basta ragionare similmente ma trovandosi in quell'inferno di casi che escono fuori dovendo considerare tutte le casistiche date dal valore assoluto su \(z\). Francamente, è un approccio decisamente masochista
.
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.