Dubbi integrale multiplo

[curioso54]

Salve. Recentemente mi sono imbattuto sulla risoluzione degli integrali tripli e ho fondamentalmente notato che si può risalire agli estremi di integrazione di un dato insieme di integrazione per via puramente algebrica (ponendo bene le condizioni di esistenza di tuttw le funzioni che vengono fuori con i calcoli) senza il bisogno di rappresentare il dominio graficamente. Però ciò non mi torna nel caso del volume di un anello sferico usando le coordinate cilindriche (so quale è il risultato, ma io voglio ricavarlo utilizzando le coordinate cilindriche).
Ho impostato l'integrale triplo il cui integrando è 1, riscritto l'insieme di integrazione in modo da estrapolare gli estremi di integrazione e torna quasi tutto tranne un radice di 3 che viene fuori. Come è possibile?

(Domani scriverò tutti i passaggi così potete vedere dove sbaglio, ma se qualcuno impostasse già il tutto con le coordinate cilindriche affinché possa notare io stesso dove sbaglio mi farebbe un gran favore).

Ringrazio in anticipo

[pilloeffe]

Ciao curioso54,

Benvenuto sul forum!

Ho impostato l'integrale triplo il cui integrando è 1, riscritto l'insieme di integrazione in modo da estrapolare gli estremi di integrazione e torna quasi tutto tranne un radice di 3 che viene fuori. Come è possibile?

E' praticamente impossibile capire dove sbagli (se sbagli, magari è un errore di stampa nel risultato... Per inciso, ti sei ricordato dello jacobiano della trasformazione in coordinate cilindriche?) se non posti i passaggi o almeno il testo dell'integrale triplo col suo dominio $T$, che se ho ben capito è una cosa del genere:

$\int \int \int_T f(x, y, z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int \int \int_T 1 \text{d}x \text{d}y \text{d}z $

$ T = ? $

Codice:

$\int \int \int_T f(x, y, z) \text{d}x  \text{d}y  \text{d}z = \int \int \int_T 1 \text{d}x  \text{d}y  \text{d}z $

$ T = ? $


Se scrivi anche cosa dovrebbe risultare meglio ancora...

[curioso54]

Pensavo che il volume dell'anello sferico fosse ovvio, ma provvederò a scrivere il risultato non appena torno a casa

[pilloeffe]

Pensavo che il volume dell'anello sferico fosse ovvio

Mah, per me no, ma può anche essere che sia un problema mio...

provvederò a scrivere il risultato non appena torno a casa

Il risultato va bene, ma ancora più importante del risultato è che tu scriva per bene com'è definito $T$

[curioso54]

$\int \int \int_T 1 \text{d}x\text{d}x\text{d}x $

$T = {(x,y,z)\in \RR^3 : x^2+y^2+z^2<1, x^2+y^2+z^2<4} $


$\phi(T)=\left\
begin{aligned}
r^2+z^2. &>1 \\

r^2+z^2. &<4
\end{aligned}
\right $











Ho fatto bene alle manipolazioni nell'insieme di integrazione ma non capisco come venga fuori un risultato del genere


Il volume dell'anello sferico è $\frac{4\pi}{3}(R_1^3-R_2^3)$ , e nel caso di raggi 2 e 1 deve tornare $\frac{28}{3}\pi$

Qualcuno può farmi capire dove ho sbagliato, attenendosi alle coordinate cilindriche??

[curioso54]

Ciao curioso54,

Benvenuto sul forum!

Ho impostato l'integrale triplo il cui integrando è 1, riscritto l'insieme di integrazione in modo da estrapolare gli estremi di integrazione e torna quasi tutto tranne un radice di 3 che viene fuori. Come è possibile?

E' praticamente impossibile capire dove sbagli (se sbagli, magari è un errore di stampa nel risultato... Per inciso, ti sei ricordato dello jacobiano della trasformazione in coordinate cilindriche?) se non posti i passaggi o almeno il testo dell'integrale triplo col suo dominio $T$, che se ho ben capito è una cosa del genere:

$\int \int \int_T f(x, y, z) \text{d}x \text{d}y \text{d}z = \int \int \int_T 1 \text{d}x \text{d}y \text{d}z $

$ T = ? $

Codice:

$\int \int \int_T f(x, y, z) \text{d}x  \text{d}y  \text{d}z = \int \int \int_T 1 \text{d}x  \text{d}y  \text{d}z $

$ T = ? $


Se scrivi anche cosa dovrebbe risultare meglio ancora...

Mi sono ricordato dello jacobiano sì, ma non capisco dove sia il problema qui – algebricamente parlando – perché nelle parentesi graffe non vedo alcun errore di riscrittura del dominio: il raggio è per forza compreso tra 0 e 1 in quanto soddisfa le C.E di entrambe le funzioni $\sqrt(4-r^2)$ e $\sqrt(1-r^2)$

[pilloeffe]

Qualcuno può farmi capire dove ho sbagliato, attenendosi alle coordinate cilindriche??

A parte che è vietato postare immagini sul forum, in quanto i siti di hosting dopo poco tempo eliminano le immagini e quindi rendono il post ed il thread praticamente illeggibili, sicché ti inviterei a modificare il tuo post eliminando l'immagine e scrivendo semplicemente il dominio

$T = {(x,y, z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 > 1, x^2 + y^2 + z^2 < 4} $

Codice:

$T = {(x,y, z) \in \RR^3 : x^2 + y^2 + z^2 > 1, x^2 + y^2 + z^2 < 4} $


non capisco perché fai la somma di quei due integrali: per trovare il volume dell'anello io farei la differenza dei volumi delle due sfere, non la somma...
Comunque qui, trattandosi di sfere, è evidente che convengono di gran lunga le coordinate sferiche:

$T_s = {(\rho,\theta, \varphi) \in \RR^3 : 1 < \rho < 2, 0 \le \theta < 2\pi, 0 \le \varphi < \pi} $

[curioso54]

Non sapevo fosse vietato postare immagini, l'ho fatto perché non sono molto familiare con LaTex. Il mio obiettivo qui è di arrivare al risultato utilizzando le cilindriche e capire dove sbaglio nei procedimenti.

[Mephlip]

@curioso54: Sbagli a risolvere le disequazioni. Osserva che, tenendo conto che \(r>0\), si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [r^2 \le r^2+z^2<4] \implies [r^2<4] \implies [0 < r < 2]
\]E si ha:\[
[r^2+z^2<4] \implies [z^2<r^2+z^2<4] \implies [z^2<4] \iff [ \ |z| < 2 \ ]
\]Per determinare l'intervallo in cui varia \(z\), distinguiamo due casi su \(r\). Se \(0<r<1\), allora \(1-r^2>0\) e pertanto:\[
[1<r^2+z^2<4] \iff [1-r^2<z^2<4-r^2] \iff \left[\sqrt{1-r^2}<|z|<\sqrt{4-r^2}\right]
\]
Se invece \(1<r<2\), allora \(4-r^2>0\) e \(1-r^2<0\). Da quest'ultima, segue che \(z^2>1-r^2\) è vera per ogni \(z \in \mathbb{R}\) e quindi in questo caso si ha:\[
\left[1-r^2<z^2<4-r^2\right] \iff \left[z^2<4-r^2\right] \iff \left[ \ |z| < \sqrt{4-r^2} \right]
\]Ora, osserva che la funzione integranda e \(T\) sono pari in \(z\) (ossia, scambiando \(z\) con \(-z\) rimangono invariati sia funzione integranda sia insieme di integrazione), quindi l'integrale in esame è pari al doppio dell'integrale calcolato aggiungendo a \(T\) la condizione \(z>0\). Ma, con tale condizione aggiuntiva, è \(|z|=z\) e perciò le limitazioni su \(z\) sono \(\sqrt{1-r^2}<z<\sqrt{4-r^2}\) ed \(0<r<1\) o \(0<z<\sqrt{4-r^2}\) ed \(1<r<2\) .

Perciò, si ha:\[
\iiint_T \text{d}x\text{d}y\text{d}z=2 \cdot 2\pi \left[\int_0^1 \left(\int_{\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r+\int_1^2 \left(\int_0^{\sqrt{4-r^2}}r\text{d}z\right)\text{d}r\right]=\frac{28}{3}\pi
\]
In sostanza, il tuo errore è stato quello di trascurare delle condizioni aggiuntive su \(r\): hai dato per scontato che le condizioni di realtà delle radici fossero gli unici vincoli sull'intervallo in cui varia \(r\), ma non è così (come puoi vedere nel passaggio "\(r^2<r^2+z^2<4\) implica \(0<r<2\)"). Per alcuni valori di \(0<r<2\), le limitazioni su \(z\) cambiano in accordo a quello che ho scritto su. In particolare, per alcuni valori ammissibili di \(r\) hai addirittura che \(1-r^2<0\) e quindi non puoi assolutamente estrarne la radice in questo contesto di analisi reale.

Se proprio non vuoi usare la parità su \(z\), basta ragionare similmente ma trovandosi in quell'inferno di casi che escono fuori dovendo considerare tutte le casistiche date dal valore assoluto su \(z\). Francamente, è un approccio decisamente masochista .

[pilloeffe]

Non sapevo fosse vietato postare immagini, l'ho fatto perché non sono molto familiare con LaTex.

Lo immaginavo, per questo ti ho scritto il codice per scrivere l'insieme $T$...

Il mio obiettivo qui è di arrivare al risultato utilizzando le cilindriche e capire dove sbaglio nei procedimenti.

Hai compreso bene quanto

non capisco perché fai la somma di quei due integrali: per trovare il volume dell'anello io farei la differenza dei volumi delle due sfere, non la somma

Generalizzando ed insistendo ad usare le coordinate cilindriche, cosa che fra l'altro io non farei perché è del tutto evidente che qui siano molto più convenienti le coordinate sferiche, farei così:

$V_{\text{anello}}(R_1, R_2) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{R_1}[\int_{-\sqrt{R_1^2 - \rho^2 }}^{\sqrt{R_1^2 - \rho^2}} \text{d}z] \rho \text{d}\rho - \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{R_2}[\int_{-\sqrt{R_2^2 - \rho^2}}^{\sqrt{R_2^2 - \rho^2}} \text{d}z] \rho \text{d}\rho = $

$ = (4\pi)/3 R_1^3 - (4\pi)/3 R_2^3 = (4\pi)/3 (R_1^3 - R_2^3) $

Ovviamente nel caso particolare $R_1 = 2 $ e $R_2 = 1 $ si ha:

$V_{\text{anello}}(2, 1) = (4\pi)/3 (2^3 - 1^3) = (4\pi)/3 (8 - 1) = (28\pi)/3 $

Invece con le coordinate sferiche:

$V_{\text{anello}}(R_1, R_2) = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^{\pi} sin\varphi \text{d}\varphi \int_{R_2}^{R_1} \rho^2 \text{d}\rho = (4\pi)/3 (R_1^3 - R_2^3) $