Più modi di scrivere una soluzione per una serie di Fourier.

[lackyluk]

Buongiorno a tutti.

Ho da calcolare la serie di Fourier della funzione di forma:

$f(x) = { ( x, 0<=x<=pi ),( -pi, pi<x<2pi ):} $

Ottengo una soluzione che posso scrivere in queste due forme (tralasciando al momento estremi e punto di discontinuità):


1) $-pi/2+1/pi \sum_{n = 1}^{\infty}((-1+(-1^n))cosnx)/n^2 + \sum_{n = 1}^{\infty}(1-2(-1)^nsinnx)/n$

2) $-pi/2 + 1/pi \sum_{n = 1}^{\infty}((cospin-1)cosnx)/n^2 + \sum_{n = 1}^{\infty}(1-2(-1)^nsinnx)/n$

Ora, la soluzione mi viene invece data come:

3) $-pi/4 - 2/pi \sum_{n = 1}^{\infty}(cosnx)/n^2 + \sum_{n = 1}^{\infty}(1-2(-1)^nsinnx)/n$

Le domande quindi sono:

La 1 e la 2 sono soluzioni corrette e scritte in modo corretto del problema?

La 3 è una soluzione corretta scritta in modo corretto?
A me sembra di no per la 3 in quanto ottiene un valore in coseno anche per gli n pari, dove invece dovrebbe annullarsi. Per gli n dispari continua invece ad aggiungere un valore con coefficiente -2 come dovrebbe essere. Mi sembra evidente manchi uno di quegli ulteriori fattori presenti nella 1 e 2. Inoltre è presente quel $-pi/4$ invece di $-pi/2$.

La 3 però continua ad essermi data come soluzione buona, tra l'altro valida quanto le altre due.

Cosa devo concludere?
Grazie a tutti.

[pilloeffe]

Ciao lackyluk,

1) $ -pi/2+1/pi \sum_{n = 1}^{\infty}(-1+(-1^n)cosnx)/n^2 $

La seconda parte è uguale, quindi concentriamoci sulla prima che è scritta male ed immagino che in realtà sia $(-1+(-1)^n)cosnx $: ora se $n $ è pari, cioè diciamo $n = 2m $ il coefficiente davanti a $cos nx $ si annulla, se invece $n$ è dispari, cioè diciamo $n = 2m + 1$, allora diventa $- 2 cosnx$ e questo spiega la 3).
Per la 2) basta considerare che $cos(n\pi) = (- 1)^n $ e con lo stesso ragionamento di poc'anzi si spiega la 3).
Il $-\pi/4 $ della 3) mi pare un errore di stampa, in realtà è un $-\pi/2 $

[lackyluk]

Grazie pilloeffe, ho corretto il primo post.

Però non ho capito se consideri la 3 corretta o meno.

Con la 1 e la 2, per n=3 ad esempio, ottengo:

$-pi/2 - (2cosx)/pi-(2cos3x)/(9pi) + 3sin x - (sin2x)/2 +(3 sin3x)/3$

con la 3 ottengo:

$-pi/2 - (2cosx)/pi-(2cos2x)/(4pi)-(2cos3x)/(9pi) + 3sin x - (sin2x)/2 +(3 sin3x)/3$

Il terzo termine qua sopra $-(2cos2x)/(4pi)$ non dovrebbe non comparire proprio (termine in coseno quando n cicla sul 2) e rende la serie errata?

[pilloeffe]

Si ha:

$ 1/\pi \sum_{n = 1}^{+\infty}((-1+(-1)^n) cos nx)/n^2 = $
$ = 1/\pi [\sum_{n = 2, 4, 6,...}^{+\infty}((-1+(-1)^n)cos nx)/n^2 + \sum_{n = 1, 3, 5,...}^{+\infty}((-1+(-1)^n)cos nx)/n^2] = $
$ = 1/\pi [0 + \sum_{n = 1, 3, 5,...}^{+\infty}((-1+(-1)^n)cos nx)/n^2] = - 2/\pi \sum_{n = 1, 3, 5,...}^{+\infty}(cos nx)/n^2 $

Quindi secondo me nella 3) manca un $n \text{ dispari}$:

\begin{equation*}
- \frac{2}{\pi} \sum_{\substack{
n = 1\\
n \text{ dispari }}}^{+\infty}
\frac{\cos nx}{n^2}
\end{equation*}

[lackyluk]

Esatto.
Nella 3 manca qualcosa che imponga o indichi che quando n cicla sui numeri pari non deve "essere creato" nessun termine in coseno.

La persona che però da come valida anche la 3 è autorevole, per questo sto avendo dubbi di non riuscire a vedere io qualcosa, anche se mi pare evidente che così come è scritta, la 3 produca un termine in coseno anche per gli n pari.

In ogni caso, tu dici quindi che è ammissibile anche semplicemente indicare su quali numeri ciclare invece di trovare una scrittura che escluda effettivamente i termini che devono essere nulli?

Intanto grazie.

[pilloeffe]

Nella 3 manca qualcosa che imponga o indichi che quando n cicla sui numeri pari non deve "essere creato" nessun termine in coseno.

Esatto, beh quel "qualcosa" è semplicemente $n \text{ dispari }$

mi pare evidente che così come è scritta, la 3 produca un termine in coseno anche per gli n pari.

Concordo.

In ogni caso, tu dici quindi che è ammissibile anche semplicemente indicare su quali numeri ciclare invece di trovare una scrittura che escluda effettivamente i termini che devono essere nulli?

Sì, è ammissibile. Altrimenti se non ti piace $n \text{ dispari}$ si può anche scrivere nel modo seguente:

$- 2/\pi \sum_{m = 0}^{+\infty} cos[(2m + 1)x]/(2m + 1)^2 $

[lackyluk]

Grazie mille pilloeffe.