Definizione di continuità

[HowardRoark]

Il mio libro dà questa definizione: sia $f: AsubeRR -> RR$ con $x_0 in A$ e $x_0$ punto di accumulazione per la funzione. La funzione si dice continua quando $lim_(x->x_0) f(x)= f(x_0)$.

Poi però dà come esempio $x/|x|$ e si scrive che è discontinua in $0$, quando dalla definizione mi sembra di capire che per valutare la continuità di un punto $x_0$ è necessario che quel punto appartenga al dominio (e allora $x/|x|$ dovrebbe essere continua e non ci si dovrebbe porre neanche la domanda di valutare la continuità in $0$).

Nei miei appunti ho scritta la definizione di sopra con la differenza che non si richiede che $x_0$ appartenga al dominio della funzione, ma solo che sia un punto di accumulazione. La differenza è tanta: secondo la definizione del libro $1/x$ dovrebbe essere continua, secondo la mia definizione no.

L'ambiguità non è soltanto legata alla definizione di continuità, ma anche ad altre nozioni: ad esempio per la definizione di classe $C^n$, in cui si richiede che la funzione sia derivabile $n$ volte e che la funzione sia continua per ogni $x$ appartenente al dominio della derivata. Quindi ad esempio $lnx$ è una funzione di classe $C^2$, ma molti altri testi riporterebbero $1/x$ discontinua in $x=0$ per i motivi che ho spiegato.

Quindi perché per alcuni testi per la continuità basta che $x_0$ sia di accumulazione e in altri viene anche richiesto che appartenga al dominio?

[gabriella127]

Hai ragione a porti il problema, è una ambiguità che ricorre spesso.
La definizione di continuità in un punto (di accumulazione) considera in effetti solo i punti appartenenti al dominio, ma si usa chiamare discontinua in un punto anche una funzione in quel punto non definita.
A rigore, per parlare di continuità della funzione in un punto occorre che la funzione sia definita in quel punto, non ha senso chiedersi se una funzione è continua dove non è definita, ma si usa dire lo stesso che è 'discontinua' nel caso non sia definita nel punto.

Alcuni libri fanno come il tuo, danno la definizione e poi danno un esempio di discontinuità prendendo un punto in cui la funzione non è definita, ma insomma, basta intendersi.

Però anche nella tua definizione negli appunti è sottinteso che la funzione sia definita in $x_0$, altrimenti non si può parlare di $f(x_0)$.

Poi però la differenza è tanta: secondo la definizione del libro $ 1/x $ dovrebbe essere continua, secondo la mia definizione no.

Questo però non è vero, in un punto in cui la funzione non è definita la definizione non si applica, non esistendo $f(x_0)$, quindi semplicemente non puoi dire che è continua in $x_0$ (non dici che è continua, a rigore non dici niente, dici che non è definita, ma poi si usa dire comunque che è discontinua).
Ovviamente ne consegue il discorso sulla derivabilità, lì la funzione non esiste, e quindi non può esistere una derivata di una cosa che non esiste.

La cosa più grave, invece (grave per modo di dire si vive bene lo stesso), è che non si nota che questa definizione non considera i punti isolati, ma solo i punti di accumulazione, e per i punti isolati bisogna ricorrere a un altra definizione, equivalente alla prima per i punti di accumulazione:

Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ è continua in un punto $x_0\in A$ se

$$\forall\epsilon >0 \; \exists\delta>0 \; : x\in A, |x-x_o|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0|<\epsilon$$
Da cui si vede che in un punto isolato una funzione è continua, anche una funzione definita in un solo punto è continua: nel caso del punto isolato la definizione vale solo per $x=x_0$.

L'alternativa, per comprendere anche i punti isolati nella definizione di continuità con il limite, è stabilire, di peso, che in un punto isolato una funzione è continua, per definizione: quindi una funzione $f$ sarà continua in $x_0$ se $x_0$ è isolato, o se $x_0$ è di accumulazione del dominio di $f$ e il limite della funzione è uguale al valore della funzione in $x_0$.

[HowardRoark]

Grazie per la risposta, credo di essermi schiarito un po' le idee anche se andando avanti molto probabilmente mi verranno altri dubbi legati all'argomento.
Comunque non sono sicuro sia un problema che la definizione non consideri i punti isolati: se $x_0$ è isolato $lim_(x->x_0) f(x)$ non si può fare e in effetti non ha molto senso chiedersi cosa faccia la funzione in un intorno di $x_0$: definire rigorosamente la continuità per i punti isolati non mi sembra importante proprio perché la continuità guarda cosa fa la funzione sia in $x_0$ sia in un intorno del punto.

[gabriella127]

Per la verità non è così, ci possono essere funzioni con punti isolati, prendi ad esempio una funzione definita in un solo punto, è una funzione continua, per definizione.
Poi è vero che in genere ci si occupa dei punti di accumulazione, di funzioni definite su intervalli, e funzioni con domini più bizzarri e con punti isolati non se ne vedono granché.

Però la continuità è un fatto puntuale, riguarda la funzione in un punto, si parla nella definizione di continuità in un punto, non in un intorno.
(almeno nella definizione attuale, Cauchy ad esempio definiva la contiinuità in un intervallo, non in un punto, ma stavamo nel 1821, ora no nelle definizioni attuali).
Tieni presente che è vero che nei punti isolati il limite non si può fare, quella con il limite è la definizione solo per punti di accumulazione, ma per i punti isolati vale la definizione con $\epsilon-\delta$, dove non c'è da fare il limite.

Poi se la funzione è continua in tutti i punti di un insieme si dice tout court continua su quell'insieme, ma appunto è una definizione successiva, si parte dalla definizione puntuale.

[HowardRoark]

Però la continuità è un fatto puntuale, riguarda la funzione in un punto, si parla nella definizione di continuità in un punto, non in un intorno.

Riporto la definizione di continuità: $f: AsubeRR -> RR$ con $x_0 in A$ e $x_0$ punto di accumulazione per la funzione. La funzione si dice continua quando $lim_(x->x_0) f(x)= f(x_0)$. $f(x_0)$ è un valore puntuale ma il limite di sinistra si riferisce ad un intorno di $x_0$, quindi seconod me la continuità guarda anche il comportamento della funzione vicino al punto. Ma probabilmente non ho capito bene cosa intendi dire.

[gabriella127]

Volevo dire che quella che hai scritto con il limite è la definizione di continuità che vale solo per punti di accumulazione, i punti isolati non ci sono.

Per comprendere i punti isolati bisogna usare la definizione con $\epsilon-\delta$, dove non c'è da fare il limite.

[gabriella127]

Insomma, volevo dirti che ci sono due definizioni di continuità, è bene saperle entrambe, visto che hai interesse per la teoria: una con il limite e una con gli $\epsilon-\delta$.

La prima è solo per i punti di accumulazione, la seconda vale per tutti i punti, pure isolati, e per i punti di accumulazione le due definizioni coincidono.

[HowardRoark]

Una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ è continua in un punto $x_0\in A$ se

$$\forall\epsilon >0 \; \exists\delta>0 \; : x\in A, |x-x_o|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0|<\epsilon$$
Da cui si vede che in un punto isolato una funzione è continua, anche una funzione definita in un solo punto è continua: nel caso del punto isolato la definizione vale solo per $x=x_0$.

Quindi questa è la definizione di continuità per i punti isolati? Se prendo un $epsilon$ abbastanza piccolo e se $x_0$ è isolato, per definizione, in $(x_0-delta, x_0+delta)$ ci trovo solo $x_0$, e quindi sarebbe $|f(x_0)-f(x_0)|=0<epsilon$. In effetti questa definizione non la conoscevo, perché io non ho studiato analisi quanto piuttosto alcune nozioni della materia, però su alcuni materiali didattici che ho trovato in rete si sostiene che se un punto è isolato la funzione è discontinua in quel punto (utilizzando sempre la definizione che ti ho riportato). Allora, finché definire la continuità per i punti isolati non sarà rilevante per qualcosa preferisco mettere questo argomento da parte per concentrarmi su altro che potrebbe essermi più utile, almeno nell'immediato.

[HowardRoark]

Comunque hai fatto benissimo a scrivermi la definizione di continuità "in generale", quando sarà il momento riprenderò in mano questo concetto ricordandomi della definizione che mi hai scritto

[gabriella127]

È come dici, ci trovi solo $x_0$.
Ma mi pare strano che qualcuno dica che in un punto isolato una funzione è discontinua.
Comunque ora lascia stare, sì, non è ora rilevante, tanto le cose importanti riguardano la continuità nei punti di accumulazione.

Volevo solo non lasciarti con una lacuna, visto che tendi ad approfondire la teoria.
Cioè dirti, per informazione, che c'è un'altra definizione di continuità, molto consueta, quella con $\epsilon-\delta$, che riguarda tutti i punti, accumulazione e non.
Ma avuta l'informazione, lasciala da parte.