Derivata della funzione potenza

[HowardRoark]

Stavo riflettendo sul fatto che $x^n$, all'aumentare di $n$, diventa sempre più schiacciata sull'asse $x$ in un intorno di $0$, e ciò significa che in $-epsilon<0<epsilon$, con $epsilon$ "molto piccolo", $f'(x_0)$ tende ad essere sempre più basso, con $x_0 in -epsilon<0<epsilon$. Detto in altre parole, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $x^n$, in un intorno di $0$ "sufficientemente piccolo" tende a $0$ se $n->+oo$.
Però ora mi chiedevo: quanto deve essere piccolo questo intorno? Perché ad esempio $f'(x^5) = 5x^4$, $f'(0.99)~~4.8$, mentre $f'(x^4)=4x^3$ e $f'(0.99)~~3.88$.
Più in generale, prese $x^n$ e $x^(n+1)$, qual è l'$x_0$ che rende le derivate delle due funzioni, calcolate in $x_0$, uguali?
Io ho ragionato così. Prendo $x^n$ e $x^(n+1)$ $f'(x^n)=nx^(n-1)$, $f'(x^(n+1))=(n+1)x^n$.
Quindi: $nx^(n-1) = (n+1)x^n => x = n/(n+1)$. Preso quindi $x_0$ in un intorno di $0$ di raggio $n/(n+1)$, mi aspetto che la derivata di $x^n$ calcolata in $x_0$ sia sempre maggiore della derivata di $x^(n+1)$, calcolata sempre in $x_0$. E' giusto il ragionamento? Ci stavo pensando proprio ora ma mi sembra corretto.

[gabriella127]

Hai scoperto le successioni di funzioni, importante argomento, quindi complimenti.

Guarda il grafico delle funzioni $x^n$ all'aumentare di $n$, nell'intervallo $[0,1]$:




come vedi le funzioni sono sempre più schiacciate, all'aumentare di $n$ tendono a sedersi sull'asse delle $x$, e facendo tendere $n\rightarrow \infty$ vanno a zero in tutti i punti in $[0,1)$. Resta escluso il punto $1$, lì le funzioni sono tutte inchiodate a $1$ e non si muovono di lì.

Quindi l'intervallo che cerchi, considerando le $x^n$ in $[0,1]$, in cui "il coefficiente angolare della retta tangente tende a $0$ per $n\rightarrow \infty$ " è l'intervallo $[0,1)$.

Per $n\rightarrow \infty$ la successione di funzioni $x^n$ in $[0,1]$, intervallo chiuso, tende ad appiattirsi totalmente sull'asse delle $x$ tranne nel punto $1$ dove resta sempre $1$. Cioè per $n\rightarrow \infty$ la successione di funzioni $x^n$ in $[0,1]$ ha come limite¹ la funzione $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, che vedi in rosso sopra, cioè la funzione (discontinua):

\( f(x) =\begin{cases} 0 & \text{se} \; x\in [0,1)\ \\1 & \text {se} \;x=1\end{cases} \)

Un ragionamento simile puoi fare per $x\leq 0$.
L'insieme di definizione è fondamentale, ragionando come sopra si può constatare che la successione $x^n$ converge puntualmente solo in $(-1,1]$. Come puoi renderti conto, in $x=-1$ non converge, oscilla tra $-1$ e $1$.

Per fare questo discorso rigorosamente, con le definizioni, le technicalities e l'ambaradàn bisognerebbe studiare le successioni di funzioni, ma non è questo il momento.

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Note

1. Si chiama limite puntuale, si dice che la successione di funzioni $x^n$ converge puntualmente per $n\rightarrow\infty$ alla funzione $f(x)$, ma ora non ci frega che significa. ↑

[HowardRoark]

Interessante il concetto di successione di funzioni, non l'ho mai incontrato. Comunque più o meno ho capito la tua spiegazione, che la successione di funzioni $x^n$ per $n->+oo$ converge ad $1$ (ovviamente nell'intervallo $[0,1]$) lo si può capire anche considerando $x=n/(n+1)$, che tende ad $1$ per $n->+oo$. Il fatto che poi la successione di funzioni valga $0$ in $[0,1)$, per $n->+oo$, come hai detto è dovuto al fatto che la successione di funzioni non si appiattisce mai sopra $x=1$, quindi mi torna anche questo punto.

[gabriella127]

Interessante il concetto di successione di funzioni, non l'ho mai incontrato. Comunque più o meno ho capito la tua spiegazione, che la successione di funzioni $x^n$ per $n->+oo$ converge ad $1$ (ovviamente nell'intervallo $[0,1]$

Però la successione non converge a $1$ converge a $0$ per ogni $x\in [0,1)$, converge a $1$ solo per $x=1$.
Guarda la linea rossa + palletta rossa, che rappresenta la funzione limite nell'intervallo chiuso [0,1].
Le funzioni all'aumentare di $n$ ,$x^2, x^3, x^4, x^5, ... x^n...$ , sono sempre più sedute sull'asse $x$, tranne che per $x=1$.
Se non ti quadra, disegnatele una a una, per $n=1,2,3,4,...$, e vedi come si schiacciano sempre più al crescere di $n$.
Però, qualunque sia $n$, per $x=1$ valgono sempre $1$, da cui l'inchiodamento dove c'è la palletta rossa.
Come vedi, è una successione di funzioni continue, $x^n$, che poi andando al limite per $n\rightarrow \infty$ si 'spezza' nella funzione discontinua $f(x)$: si spiaccica sull'asse delle $x$ in $[0,1)$, ma resta la palletta rossa in alto per $x=1$

Questo è giusto un insight, sono cose che richedono di essere studiate rigorosamente, ma adesso mi sembra che non è il caso, metti troppa carne a cuocere.
Non hai mai visto l'argomento perché in genere sta sui libri di analisi 2, e poi mi sa che a economia non si fa.
Però la tua domanda andava lì.

[gugo82]

Mi pare tu stia ponendo due domande differenti, senza però tentare di discriminare cosa ti interessa chiedere effettivamente... Ma in ogni caso la risposta è una: basta fare i conti.

Fissato $varepsilon >0$, diciamo che vuoi sapere per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $|f^'(x)| < varepsilon$.
Per fare ciò, ti basta risolvere la disequazione $|nx^(n-1)|<varepsilon$, con parametro $n in NN$ e diciamo pure $n>= 2$ per stare tranquilli.
Come dovresti sapere dalle superiori, hai:

$|n x^(n-1)| < varepsilon \ <=>\ n|x|^(n-1) < varepsilon \ <=>\ |x|^(n-1) < varepsilon/n \ <=>\ |x| < (varepsilon/n)^(1/(n-1))$

quindi la semiampiezza massima che i consente di avere $|f^'(x)| < varepsilon$ intorno a $0$ è:

$delta = delta_(n, varepsilon) = (varepsilon/n)^(1/(n-1))$.

Se vuoi sapere come, fissato $varepsilon > 0$ "piccolo", questa semiampiezza si comporta al crescere dell'esponente $n$, ti basta calcolare il $lim_(n -> oo) delta_(n,varepsilon)$.

Altro problema, invece, è stabilire se esiste qualche valore di $x in [0,1]$ tale che $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ (con, come sopra, $n in NN$ ed $n>=2$ per stare tranquilli).
Chiaramente almeno un tale valore esiste ed è $x_0=0$, ovviamente.
Se provi a risolvere l'equazione $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ sotto la condizione $x != 0$ ti accorgi (sempre Matematica delle superiori) che essa equivale a $n = (n+1) x$ e ti dà come soluzione $x_n = n/(n+1)$.

In ogni caso, l'Analisi c'entra poco: come vedi sono calcoli (risoluzioni di equazioni e disequazioni con parametri e valori assoluti) che dovresti saper fare dalle superiori.

[HowardRoark]

Però la successione non converge a $1$ converge a $0$ per ogni $x\in [0,1)$, converge a $1$ solo per $x=1$.
Guarda la linea rossa + palletta rossa, che rappresenta la funzione limite nell'intervallo chiuso [0,1].
Le funzioni all'aumentare di $n$ ,$x^2, x^3, x^4, x^5, ... x^n...$ , sono sempre più sedute sull'asse $x$, tranne che per $x=1$.

Hai ragione, ieri ho scritto con un po' di superficialità.

[HowardRoark]

Fissato $varepsilon >0$, diciamo che vuoi sapere per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $|f^'(x)| < varepsilon$.
Per fare ciò, ti basta risolvere la disequazione $|nx^(n-1)|<varepsilon$, con parametro $n in NN$ e diciamo pure $n>= 2$ per stare tranquilli.
Come dovresti sapere dalle superiori, hai:

$|n x^(n-1)| < varepsilon \ <=>\ n|x|^(n-1) < varepsilon \ <=>\ |x|^(n-1) < varepsilon/n \ <=>\ |x| < (varepsilon/n)^(1/(n-1))$

quindi la semiampiezza massima che i consente di avere $|f^'(x)| < varepsilon$ intorno a $0$ è:

$delta = delta_(n, varepsilon) = (varepsilon/n)^(1/(n-1))$.

Molto interessante anche questo, soprattutto perché non ci avevo mai ragionato, anche se non era proprio quello che volevo sapere.

Altro problema, invece, è stabilire se esiste qualche valore di $x in [0,1]$ tale che $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ (con, come sopra, $n in NN$ ed $n>=2$ per stare tranquilli).
Chiaramente almeno un tale valore esiste ed è $x_0=0$, ovviamente.
Se provi a risolvere l'equazione $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ sotto la condizione $x != 0$ ti accorgi (sempre Matematica delle superiori) che essa equivale a $n = (n+1) x$ e ti dà come soluzione $x_n = n/(n+1)$.

Quello che volevo sapere era questo. Più che altro stavo ripassando le derivate e il mio libro, come argomento introduttivo, si sofferma sulle funzioni $x^2$, $sqrt(x)$ e $x$ in un intorno destro di $0$, e osserva come tali funzioni avessero una diversa propensione al cambiamento all'aumentare di $x$: $x^2$ cambia relativamente poco, $x$ nella media e $sqrt(x)$ ha elevata reattività (passami i termini imprecisi). Quindi ho deciso di fare qualche esempio con alcune funzioni del tipo $x^n$ ed ho osservato che per $n->+oo$ le funzioni tendono a $0$ in $[0,1)$, cioè diventano sempre meno reattive in questo intorno e questo si riflette con delle rette tangenti alla funzione sempre più piatte. Volevo capire però quale dovesse essere questo intorno destro di $0$ affinché la derivata di $x^(n+1)$, calcolata in $x_0 in I_(0)^+$, fosse minore della derivata di $x^n$ calcolata in $x_0$, e come risultato ho trovato proprio che, in $0<x<n/(n+1)$, la derivata di $x^(n+1)$ è minore della derivata di $x^n$. Ho capito questo mentre stavo scrivendo il post, per questo forse è venuto un po' confusionario su cosa chiedessi. Alla fine si è tramutato in una domanda che confermasse la correttezza del mio ragionamento, consapevole del fatto che discuterne con voi sarebbe stato a prescindere un ottimo modo per capire meglio la questione e magari anche altre cose che ignoro.

[gugo82]

"Reattività"...

Vabbé, passi.
Però ricorda che tra il tendere a zero e l'impennarsi poco non c'è questo grande legame. Ci sono successioni di funzioni che tendono a zero, però oscillano "selvaggiamente" mentre lo fanno (sicché le derivate fanno un gran casino).