Esercizio compattezza

[sellacollesella]

Credo sia solo un problema grafico, aumentando la risoluzione quei baffi si allungano.
Tutto ciò perché per ogni \(x \in \mathbb{R}\) fissato esiste \(y \in \mathbb{R}\) tale che \(x^3 + xy + y^3 = 0\).

P.S: nel frattempo ho notato che lo aveva già scritto Martino; scusa.

[gabriella127]

Ah, giusto, in effetti Martino aveva detto di dimostrarlo. Non lo avevo letto.

[Quinzio]

Buongiorno, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi con questo problema?? L'esercizio chiede se l'insieme $ H={(x,y) in RR^2 |-1 <= x^3+xy+y^3 <= 1}$ è compatto. L'insieme è chiaramente chiuso e graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.

L'espressione centrale e' simmetrica in $x$ e $y$, ovvero puoi scambiare le due variabili senza che cambi nulla.
Questo e' un forte indizio che la funzione puo' essere "ruotata" di 45 gradi e che il dominio diventi y-normale.

Sostituendo $x$ con $-x+y$ e $y$ con $x+y$ si ottiene

$\left(-x+y\right)^{3}\ +\left(x+y\right)^{3}\ +\left(x+y\right)\left(-x+y\right)+1=0$

ovvero

$2y^{3\ }+6yx^{2}+y^{2}-x^{2}+1=0$

ovvero

$x^2 = -(2y^{3\ }+y^{2}+1)/(6y-1)$

Se prendi il limite per $y -> 1/6$ ottieni infinito, e quindi anche la $x$ va a infinito. Quindi l'insieme non e' limitato.

PS.
Attenzione ai tools grafici, vanno benissimo per farsi un'idea, ma quello che si vede e' sempre un'approssimazione.

[gabriella127]

graficamente risulta non limitato e quindi non compatto ma non riesco a dimostrarlo analiticamente.

Non riuscivo a capire come Gnagni faceva a vedere graficamente con questa certezza che l'insieme H risulta illimitato.
Per quanto possa essere un problema di definizione (grafica) e per quanto si possa aumentare la definizione, cosa ci dice che quelle code non finiscano lontanissimo dove non le vediamo?

Perciò mi sembrava che l'illimitatezza si potesse vedere solo per via analitica.