Dimostrazione con induzione di una somma di cubi

[grant9]

Salve a tutti, ho un dubbio inerente questo esercizio.
Bisogna dimostrare per induzione che:

$\sum_{k=-n}^n k^3=0$

Per il primo termine risulterebbe verificato

$-1^3+0^3+1^3=0$

Non so se abbia sviluppato un'idea giusta, ma concettualmente mi vien da dire che sommando termini opposti, ovviamente si ottiene lo zero.
Però non so come scriverlo.

Credo di sbagliare gravemente dicendo che, per $n+1$ potrei scrivere la sommatoria in modo da ricondurmi a

$\sum_{k=-(n+1)}^(n+1) k^3=0$
$\sum_{k=-n}^n k^3 + (n+1)^3 - (n+1)^3=0$

Allora ho pensato che potrei spezzare la sommatoria in due
$\sum_{k=(0)}^(n) k^3$
$\sum_{k=-n}^(0) k^3$

La prima ha una dimostrazione nota in quanto somma di cubi, la seconda molto "terra terra" raccoglierei il segno meno e otterrei la stessa formula per la somma di cubi.
I due valori, essendo di segno opposto, si elidono.
Dunque si riconduce ad usare l'induzione per dimostrare
$\sum_{k=0}^n k^3=0$

Probabilmente ho detto una marea di idiozie e chiedo perdono, ma gradirei una mano per formalizzare questa dimostrazione. Quel $k=-n$ non l'ho mai incontrato.
Grazie mille e buona giornata a tutti

[Quinzio]

Salve a tutti, ho un dubbio inerente questo esercizio.
Bisogna dimostrare per induzione che:

$\sum_{k=-n}^n k^3=0$

Il fatto e' che qui l'induzione non c'entra nulla.

$\sum_{k=-n}^n k^3=0$

si divide in due parti la somma

$\sum_{k=1}^n k^3 + \sum_{k=1}^n (-k)^3$

$\sum_{k=1}^n k^3 - \sum_{k=1}^n k^3 = 0$

siccome $(-k)^3 = -k^3$

[pilloeffe]

Ciao grant9,

Scusa, ma a parte che è ovvio e non ti serve neanche l'induzione, comunque non hai già risolto?
Hai dimostrato che è vera per $n = 1 $.
Adesso hai per ipotesi che $\sum_{k = - n}^n k^3 = 0 $ (cosa facilmente dimostrabile anche senza induzione);
devi dimostrare che $\sum_{k = - (n + 1)}^{(n + 1)} k^3 = 0 $:

$ \sum_{k = - (n + 1)}^{(n + 1)} k^3 = \sum_{k = - n}^n k^3 + (n + 1)^3 + (-(n + 1))^3 \stackrel{Hp}{=} 0 + (n + 1)^3 - (n + 1)^3 = 0 $

[grant9]

Ciao grant9,

Scusa, ma a parte che è ovvio e non ti serve neanche l'induzione, comunque non hai già risolto?

Grazie mille ad entrambi per la risposta! Quindi è possibile concludere l'esercizio così?
Diciamo che la sua banalità e la richiesta esplicita di dimostrarlo per induzione mi ha fatto sorgere un dubbio sulla formalizzazione della dimostrazione.
Grazie ancora

[pilloeffe]

Grazie mille ad entrambi per la risposta!

Prego!

Quindi è possibile concludere l'esercizio così?

Sì. Beh, diciamo che io l'avrei dimostrato come ti ha fatto vedere Quinzio, ma se proprio devi necessariamente dimostrarlo con l'induzione i passaggi sono quelli...

Quel $k=−n$ non l'ho mai incontrato.

Se ne vuoi incontrare un altro puoi dare un'occhiata ad esempio a questo thread.